Skip to content

રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સ્થિર વિશ્લેષણ (પરિચય)

અહીં નાની વિરૂપતાના સિદ્ધાંત પર આધારિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિર વિશ્લેષણનું સૂત્રીકરણ રજૂ કરવામાં આવે છે. તાણ-વિકૃતિ સંબંધ માટે રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા ધારવામાં આવી છે. આ અધ્યાય સીમિત તત્ત્વ પદ્ધતિ દ્વારા માળખાકીય વિશ્લેષણની સમગ્ર રૂપરેખા સમજવા માટેનો પરિચય છે અને તેને સ્વતંત્ર રીતે એક જ અધ્યાયમાં વાંચી શકાય તે રીતે રચવામાં આવ્યો છે.

આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંતની સામાન્ય ચર્ચા (વર્તમાન ગોઠવણી, પ્રારંભિક ગોઠવણી અને નાની વિરૂપતા તરફનું સરળીકરણ) માટે આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત, રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમની વિગતો માટે રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા, ટેન્સર સંકેતન અને Voigt સંકેતનના નિયમો માટે ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર, સીમિત વિરૂપતાનું સામાન્ય સૂત્રીકરણ માટે ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ, અને અરેખીય સમસ્યાઓની ઉકેલ પદ્ધતિ માટે સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ જુઓ.

મૂળભૂત સમીકરણો

નાની વિરૂપતા અને રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતાની ધારણામાં ઘન યાંત્રિકશાસ્ત્રની સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા સમતુલા સમીકરણ, યાંત્રિક સીમા શરત અને ભૂમિતિક સીમા શરત (મૂળભૂત સીમા શરત) થી બને છે (આકૃતિ 2.1.1 જુઓ):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

અહીં \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy તાણ છે, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) એકમ ઘનફળ દીઠ દેહ બળ છે, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) સપાટી બળ (નિર્ધારિત મૂલ્ય) છે, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) નિર્ધારિત વિસ્થાપન છે, અને \(S_t, S_u\) અનુક્રમે યાંત્રિક તથા ભૂમિતિક સીમાઓ છે.

ઘન યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા (નાની વિરૂપતા સમસ્યા)

આકૃતિ 2.1.1 ઘન યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા (નાની વિરૂપતા સમસ્યા)

વિકૃતિ-વિસ્થાપન સંબંધને સમમિત ઢાળ ઓપરેટર વડે

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

અને રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણને

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

રૂપે દર્શાવવામાં આવે છે (\(\boldsymbol{C}\) ચોથા ક્રમનો સ્થિતિસ્થાપક ટેન્સર છે).

આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત

આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંતનું સામાન્ય સ્વરૂપ (વર્તમાન ગોઠવણી, પ્રારંભિક ગોઠવણી અને નાની વિરૂપતા માટેનું સરળીકરણ) આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત માં સંકલિત છે. નાની વિરૂપતા અને રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતાની ધારણામાં નબળું સ્વરૂપ છે

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

અને સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ \eqref{eq:2.1.5} ને મૂકીને Voigt સંકેતન માં \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) લખીએ તો વિવિક્તીકરણ માટે સીધું ઉપયોગી સ્વરૂપ

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

મળે છે (\(D\) એ રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા માંનું સ્થિતિસ્થાપક મેટ્રિક્સ છે). સમીકરણ \eqref{eq:2.1.10} અને સમીકરણ \eqref{eq:2.1.7} એ નીચે વિવિક્ત કરવું થનાર આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત છે.

વિવિક્તીકરણ અને સમગ્ર સમીકરણનું સંયોજન

આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંતનું સમીકરણ\( \eqref{eq:2.1.10} \) દરેક સીમિત તત્ત્વ માટે વિવિક્ત કરવું કરતાં નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

દરેક તત્ત્વ માટે, તેને બનાવતા નોડોના વિસ્થાપનો વડે વિસ્થાપન ક્ષેત્રને નીચે મુજબ અંતર્વેશન કરવામાં આવે છે.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

આ સમયે વિકૃતિ, સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.4}\) નો ઉપયોગ કરીને નીચે મુજબ મળે છે.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.12}\) અને સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.13}\) ને સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.11}\) માં મૂકવાથી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.14}\) ને નીચે મુજબ સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

અહીં, સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.16}\) અને સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.17}\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મેટ્રિક્સ તથા વેક્ટરના ઘટકો દરેક સીમિત તત્ત્વ માટે ગણવામાં અને અધ્યારોપિત કરી શકાય છે.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.15}\) મનસ્વી આભાસી વિસ્થાપન \(\delta \boldsymbol{U}\) માટે માન્ય હોવાથી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

બીજી તરફ, વિસ્થાપન સીમા શરતનું સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.3}\) નીચે મુજબ દર્શાવાય છે.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.18}\) ને નિયંત્રણ શરતના સમીકરણ\(\eqref{eq:2.1.19}\) હેઠળ ઉકેલીને નોડલ વિસ્થાપન \(\boldsymbol{U}\) નક્કી કરી શકાય છે.

સંબંધિત વિષયો