Skip to content

રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા

આ અધ્યાયમાં રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રીનો સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ (Hooke નો નિયમ) વર્ણવવામાં આવે છે. પસંદગી અને ઇનપુટ નિર્દેશની વિગતો માટે કાર્ય વિભાગ 03_material જુઓ.

પરિઘટના (રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પ્રતિભાવ)

રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ એવી સામગ્રી છે જેમાં ભાર હેઠળ વિકૃતિ પૂરતી નાની હોય ત્યારે તાણ અને વિકૃતિ વચ્ચે રેખીય સંબંધ હોય છે અને ભાર દૂર કરતાં તમામ વિકૃતિ મૂળ સ્થિતિમાં પાછી ફરે છે. એટલે તેનો પ્રતિભાવ ઉલટાવી શકાય એવો અને ઇતિહાસ-સ્વતંત્ર છે. પ્લાસ્ટિસિટી અથવા ક્રીપથી ભિન્ન રીતે તેમાં અવસ્થા દર્શાવતાં આંતરિક ચલો (જેમ કે પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ અથવા સ્નિગ્ધ વિકૃતિ) નથી અને તાણ ફક્ત વર્તમાન વિકૃતિ પરથી અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે.

લઘુ વિરૂપતા ક્ષેત્રમાં Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) અને લઘુ વિકૃતિ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) વપરાય છે. સીમિત વિરૂપતા ક્ષેત્રમાં, જ્યાં મોટા ઘૂરણ હોય પરંતુ વિકૃતિ પોતે નાની હોય, દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) વપરાય છે (St.Venant-Kirchhoff સામગ્રી).

સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ

સમદિશ રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ

લઘુ વિરૂપતા ક્ષેત્રમાં સમદિશ Hooke નો નિયમ Lamé સ્થિરાંકો \(\lambda, \mu\) વડે

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

રૂપે લખાય છે. ઘટક સ્વરૂપે

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

થાય છે અને વિકૃતિ સાથેના દ્વિ-સંકોચનથી \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) મળે છે. Lamé સ્થિરાંકોનો Young મોડ્યુલસ \(E\) અને Poisson ગુણોત્તર \(\nu\) સાથેનો સંબંધ છે:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt નિર્દેશનમાં વિકૃતિ સદિશ \(\hat{\varepsilon}\) અને તાણ સદિશ \(\hat{\sigma}\) નો સંબંધ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) છે અને 3-પરિમાણીય સામગ્રી મેટ્રિક્સ \(D\) નીચે મુજબ છે:

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(અમલીકરણમાં આ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ વપરાય છે).

લંબદિશ-અસમાન રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ

મુખ્ય અક્ષની દિશા પ્રમાણે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિરાંકો અલગ હોય તેવી સામગ્રી માટે 9 સ્વતંત્ર સ્થિરાંક ધરાવતું લંબદિશીય અસમાનદિશ મોડેલ લેવામાં આવે છે: મુખ્ય અક્ષ દિશાના Young મોડ્યુલસ \(E_1, E_2, E_3\), મુખ્ય અક્ષો વચ્ચેના Poisson ગુણોત્તર \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) અને કાતર મોડ્યુલસ \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). ચોક્કસ \(D\) મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ માટે સામાન્ય સંદર્ભ ગ્રંથો જુઓ.

સીમિત વિરૂપતા ક્ષેત્ર: St.Venant-Kirchhoff સામગ્રી

મોટા ઘૂરણ હોય પરંતુ વિકૃતિ પોતે નાની હોય તેવા પ્રશ્નોમાં દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) માટેના રેખીય સ્થિતિસ્થાપક નિયમ તરીકે St.Venant-Kirchhoff સામગ્રી વપરાય છે:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé સ્થિરાંકો \(\lambda, \mu\) ની વ્યાખ્યા લઘુ વિરૂપતાના કેસ જેવી જ છે. જોકે તાણ અને વિકૃતિની વ્યાખ્યાની જોડી જુદી હોવાથી આ લઘુ વિરૂપતાના Hooke નિયમથી અલગ સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ છે.

હાઇપોઇલાસ્ટિક સામગ્રી

Updated Lagrange પદ્ધતિમાં સાપેક્ષ Kirchhoff તાણ ટેન્સરના Jaumann દર \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) અને વિરૂપતા-દર ટેન્સર \(\boldsymbol{D}\) વચ્ચેનો રેખીય સ્થિતિસ્થાપક નિયમ

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

અપનાવતી હાઇપોઇલાસ્ટિક સામગ્રી વપરાય છે. અહીં પણ \(\boldsymbol{C}\) ની Lamé સ્થિરાંકો આધારિત વ્યાખ્યા ઉપર જેવી જ છે, પરંતુ તાણ અને વિકૃતિ-દરની જોડી અલગ હોવાથી આ એક અલગ સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ છે. સમય સમાકલનની પ્રક્રિયા (અગ્રગામી Euler સમાકલન અને કેન્દ્રીય-તફાવત આસન્નીકરણ) દ્વારા \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ને અપડેટ કરવાની વિગતો માટે tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex જુઓ.

2-પરિમાણીય વિશ્લેષણ અને શેલ તત્ત્વ માટેનું સરળીકરણ

સમતલ તાણ (\(\sigma_{33} = 0\))

પાતળી પ્લેટ અથવા શેલ પરના ભારને દર્શાવતી સમતલ-તાણ સ્થિતિમાં \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) માનવામાં આવે છે અને સમતલ બહારની વિકૃતિ ઘટક \(\varepsilon_{33}\) દૂર કરીને સંક્ષિપ્ત \(D\) વપરાય છે:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

સમતલ વિકૃતિ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

જાડાઈ દિશામાં નિયંત્રિત લાંબા માળખાના છેદને દર્શાવતી સમતલ-વિકૃતિ સ્થિતિમાં \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) માનવામાં આવે છે:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

અક્ષસમમિત

નળાકાર નિર્દેશાંક \((r, \theta, z)\) માં \(\theta\) દિશામાં સમાન પ્રશ્ન માટે અક્ષસમમિત વિશ્લેષણમાં \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) અને \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) ના ચાર ઘટકો રાખવામાં આવે છે અને

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

મળે છે.

શેલ તત્ત્વ (સમતલ તાણ + અનુપ્રસ્થ કાતર)

શેલ તત્ત્વમાં સમતલની અંદરના તાણને સમતલ તાણ તરીકે લેવામાં આવે છે. ઉપરાંત અનુપ્રસ્થ કાતર વિકૃતિ ઘટકો \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) માટે કાતર સુધારો ગુણક \(\kappa\) (સામાન્ય રીતે \(\kappa = 5/6\)) લગાવી \(\kappa\, G\) વપરાય છે. દરેક તત્ત્વના ચોક્કસ સૂત્રીકરણ માટે ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ તત્ત્વ સૂત્રીકરણ જુઓ. કાર્ય વિભાગ 03_material માં જણાવેલ “શેલ તત્ત્વ ફક્ત રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા સમર્થિત કરે છે” એવો નિર્દેશ આ સમતલની અંદરના ભાગને સમતલીય તાણ તરીકે લેતા સરળીકરણ પર આધારિત છે.

તાપમાન આધારિતતા

Young મોડ્યુલસ \(E\), Poisson ગુણોત્તર \(\nu\) અને રેખીય ઉષ્મીય વિસ્તરણ ગુણાંક \(\alpha\) સામાન્ય રીતે તાપમાન \(T\) ના વિધેય તરીકે આપી શકાય છે. FrontISTR માં સીમિત તાપમાન બિંદુઓ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) માટે મૂલ્યો દાખલ કરવામાં આવે છે અને ગણતરી દરમિયાનના તાપમાન \(T\) માટે પડોશી બિંદુઓ વચ્ચે રેખીય અંતર્વેશનથી મૂલ્યાંકન થાય છે. શ્રેણી બહારના તાપમાન (\(T < T_1\) અથવા \(T > T_n\)) માટે નજીકના અંતિમ બિંદુ \(T_1\) અથવા \(T_n\) નો મૂલ્ય જ રાખવામાં આવે છે (સ્થિરાંક બહિર્પોલન).

ઉષ્ણતા અને ઉષ્મા-વહન ગુણધર્મો (ઘનતા, વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને ઉષ્મા વાહકતા) ની તાપમાન આધારિતતા માટે ઉષ્મીય ગુણધર્મો જુઓ. અંતર્વેશનનો નિયમ આ ગુણધર્મોમાં પણ સમાન છે.

સંબંધિત વિષયો