સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા¶

આ અધ્યાયમાં FrontISTR દ્વારા અપનાવવામાં આવેલા સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમના માળખાનું વર્ણન કરવામાં આવે છે. ઉપયોગની પસંદગી અને ઇનપુટ નિર્દેશનની વિગતો માટે કાર્યાત્મક વિભાગ 03_material જુઓ.

પરિઘટના (પ્લાસ્ટિક વિરૂપતા)¶

TBD (આગામી તબક્કામાં વિગતવાર લખવાનું બાકી છે).

સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમનું માળખું¶

FrontISTR સંલગ્ન પ્રવાહ નિયમને અનુરૂપ સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ અપનાવે છે. આ સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ Kirchhoff તાણના Jaumann દર અને વિરૂપતા-દર ટેન્સર વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે, અને વિરૂપતા વિશ્લેષણમાં અપડેટેડ Lagrange પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં આવે છે.

માનો કે સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા પદાર્થની યીલ્ડ શરત નીચે મુજબ આપવામાં આવી છે.

પ્રારંભિક યીલ્ડ શરત:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

પછીની યીલ્ડ શરત:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

અહીં,

\(F\): યીલ્ડ વિધેય
\(\sigma_{y_0}\): પ્રારંભિક યીલ્ડ તાણ
\(\sigma_y\): પછીનું યીલ્ડ તાણ
\(\sigma\): તાણ ટેન્સર
\(e\): નાનું વિકૃતિ ટેન્સર
\(e^p\): પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ ટેન્સર
\(\overline{e}^p\): સમકક્ષ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ

યીલ્ડ તાણ-સમકક્ષ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ સંબંધને એકઅક્ષીય અવસ્થાના તાણ-પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ સંબંધ સમાન માનવામાં આવે છે.

એકઅક્ષીય અવસ્થામાં તાણ-પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ સંબંધ

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

અહીં \(H'\) વિકૃતિ કઠિનીકરણ ગુણાંક છે.

સમકક્ષ તાણ-સમકક્ષ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ સંબંધ

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

સામાન્ય રીતે પછીનું યીલ્ડ વિધેય તાપમાન અને પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ કાર્યનું વિધેય હોય છે, પરંતુ અહીં સરળતા માટે તેને માત્ર સમકક્ષ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ \(\overline{e}^p\) નું વિધેય માનવામાં આવે છે. પ્લાસ્ટિક વિરૂપતા આગળ વધતી વખતે \(F = 0\) સતત સંતોષાવું જરૂરી હોવાથી, નીચેનું સમીકરણ માન્ય હોવું જોઈએ.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

અહીં \(\dot{F}\) એ \(F\) નો સમય અવકલજ દર્શાવે છે; આગળથી કોઈપણ રાશિ \(A\) નો સમય અવકલજ \(\dot{A}\) વડે દર્શાવવામાં આવશે.

હવે પ્લાસ્ટિક પોટેન્શિયલ \(\Theta\) અસ્તિત્વમાં છે એમ ધારીને પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ દરને નીચે મુજબ રજૂ કરીએ છીએ.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

અહીં \(\dot{\lambda}\) એક ગુણાંક છે.

આગળ પ્લાસ્ટિક પોટેન્શિયલ \(\Theta\) ને યીલ્ડ વિધેય \(F\) સમાન માનીને નીચેનો સંલગ્ન પ્રવાહ નિયમ ધારીએ છીએ.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

આ સમીકરણને સંગતતા શરતમાં મૂકી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

અહીં \(D\) સ્થિતિસ્થાપક મેટ્રિક્સ છે અને,

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા તાણ-વિકૃતિ સંબંધ નીચે મુજબ લખી શકાય છે.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા સામગ્રીનું યીલ્ડ વિધેય \(F\) જાણી શકાય તો આ સમીકરણમાંથી તેનું સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ મેળવી શકાય છે.

યીલ્ડ વિધેયો¶

નીચે FrontISTR દ્વારા અપનાવવામાં આવેલા સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતા યીલ્ડ વિધેયો સૂચિબદ્ધ છે.

Von Mises યીલ્ડ વિધેય¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

અહીં \(J_2\) વિચલનાત્મક તાણ ટેન્સરનો બીજો અપરિવર્તક છે.

Mohr-Coulomb યીલ્ડ વિધેય¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

અહીં \(\sigma_1, \sigma_3\) અનુક્રમે મહત્તમ અને લઘુત્તમ મુખ્ય તાણ છે, \(c\) સંસક્તિ છે અને \(\phi\) આંતરિક ઘર્ષણ કોણ છે.

Drucker-Prager યીલ્ડ વિધેય¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

અહીં સામગ્રી અચળાંકો \(\alpha\) અને \(\sigma_y\) સામગ્રીની સંસક્તિ અને ઘર્ષણ કોણ પરથી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

સંબંધિત વિષયો¶

રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા — સ્થિતિસ્થાપક પ્રતિભાવ (સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિકતાનો સ્થિતિસ્થાપક ભાગ)
સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ — સામગ્રી અરેખીયતા ધરાવતા વૃદ્ધિગત વિશ્લેષણ માટેનું સ્પર્શીય કઠોરતા
સામગ્રી ડેટા (કાર્ય) — યીલ્ડ વિધેય અને કઠિનીકરણ નિયમની પસંદગીઓ તથા ઉપયોગની રીત