Skip to content

ક્રીપ

આ અધ્યાયમાં FrontISTR દ્વારા અપનાવવામાં આવેલા ક્રીપ સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમનું વર્ણન છે. ઉપયોગની પસંદગી અને ઇનપુટ નિર્દેશની વિગત માટે કાર્યક્ષમતા વિભાગ 03_material જુઓ.

ક્રીપ ઘટના અને વિકૃતિનું યોગાત્મક વિઘટન

સ્થિર તાણ હેઠળ સમય-આધારિત વિસ્થાપનની ઘટનાને “ક્રીપ” કહેવામાં આવે છે.

પહેલાં વર્ણવેલું શ્યાન-સ્થિતિસ્થાપકતા વર્તન પણ એક પ્રકારની રેખીય ક્રીપ ઘટના તરીકે ગણી શકાય છે. અહીં કેટલીક અરેખીય ક્રીપ ઘટનાઓ સમજાવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, તાત્કાલિક ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિમાં વધારાની વિકૃતિ ઉમેરીને આ ઘટનાનો સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ બનાવવામાં આવે છે, અને નિશ્ચિત લોડ ચાલુ રહે તે દરમિયાન ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિને ક્રીપ વિકૃતિ \(\varepsilon^c\) કહેવામાં આવે છે. ક્રીપને ધ્યાનમાં લેતું સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ સામાન્ય રીતે ક્રીપ વિકૃતિ દર \(\dot{\varepsilon}^c\) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે તાણ અને કુલ ક્રીપ વિકૃતિનું વિધેય છે.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

અહીં, જો તાત્કાલિક ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ \(\varepsilon^e\) હોય, તો કુલ વિકૃતિ ક્રીપ વિકૃતિ ઉમેર્યા પછી નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત થાય છે.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

અહીં,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

છે (\(c\) સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક ટેન્સર છે).

Norton નિયમ

ક્રીપ સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણના ચોક્કસ સ્વરૂપ તરીકે FrontISTR નીચેનું Norton મોડેલ અપનાવે છે. આ સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણમાં સમકક્ષ ક્રીપ વિકૃતિ દર \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) ને Mises તાણ \(q\) અને સમય \(t\) ના વિધેય તરીકે નીચે મુજબ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

અહીં \(A\), \(m\), \(n\) સામગ્રી અચળાંકો છે.

સમય સમાકલન અને તાણ અપડેટ

પ્લાસ્ટિક સામગ્રીની જેમ, ક્રીપ દર્શાવતા સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ માટે સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણમાં સમય સમાકલનની પદ્ધતિ આપવી જરૂરી છે. ક્રીપ ધ્યાનમાં લેતી સામગ્રી-પ્રતિભાવ સમીકરણ છે,

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

અહીં \(\beta_{n+\theta}\) ને

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

રૂપે લેવામાં આવે છે. ઉપરાંત ક્રીપ વિકૃતિ વૃદ્ધિ \(\Delta \varepsilon^c\) માટે અરેખીય સમીકરણને સરળ બનાવીને

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

રૂપે લેવાય છે.

Newton-Raphson પદ્ધતિની પુનરાવર્તનમાં પ્રારંભિક મૂલ્ય તરીકે \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) અને સીમિત તત્ત્વ પદ્ધતિથી મળતા વિકૃતિ વૃદ્ધિનો ઉપયોગ કરીને, પુનરાવર્તિત ઉકેલ અને વૃદ્ધિ ઉકેલ નીચે મુજબ છે.

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

અહીં,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

રૂપે લેવામાં આવે છે. અવશેષ \(R\) \(\mathbf{0}\) થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તન કરતી વખતે તાણ \(\sigma_{n+1}\) અને સ્પર્શક ગુણાંક

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

નો ઉપયોગ થાય છે.

સંબંધિત વિષયો