Skip to content

આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ

આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંત ના નબળા સ્વરૂપને કમ્પ્યુટરમાં સંભાળવા માટે પિંડના ક્ષેત્રને સીમિત સંખ્યાના તત્ત્વોમાં વહેંચવામાં આવે છે અને દરેક તત્ત્વની અંદરના પદાર્થબિંદુના નિર્દેશાંક, વિસ્થાપન અને પરીક્ષણ વિધેયને નોડલ મૂલ્યો તથા આકાર વિધેયોથી અંતર્વેશન કરવામાં આવે છે. આકાર વિધેયોના અવકાશીય અવકલન માટે આકાર વિધેયોના અવકાશીય અવકલન, નબળા સ્વરૂપના વિવિક્તીકરણ માટે આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ, અને દરેક તત્ત્વ પ્રકાર માટેના ચોક્કસ આકાર વિધેયો માટે તત્ત્વ નંબરિંગ પ્રણાલી અને આકાર-વિધેય લાઇબ્રેરી તથા ત્યારબાદના વિભાગો જુઓ.

ક્ષેત્ર વિભાજન અને સમાકલનો તત્ત્વવાર સરવાળો

સંદર્ભ ગોઠવણીનું ક્ષેત્ર \(\Omega_0\) અને વર્તમાન ગોઠવણીનું ક્ષેત્ર \(\Omega\) ને અનુક્રમે તત્ત્વો \(\Omega^e_0\) અને \(\Omega^e\) ના સંયોજનથી અનુમાનિત કરીએ:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) તત્ત્વ ક્રમાંક છે અને તત્ત્વ સીમાઓ પડોશી તત્ત્વો વચ્ચે વહેંચાયેલી હોય છે). તેથી આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંત માં આવતા ઘનફળ અને સપાટી સમાકલોને દરેક તત્ત્વના સમાકલોના સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(વર્તમાન ગોઠવણી માટે પણ \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) બદલીને સમાન રીતે). ત્યારબાદ નબળા સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન તત્ત્વવાર સમાકલોની રચનામાં ઘટે છે.

નોડલ મૂલ્યો અને આકાર વિધેયોથી અંતર્વેશન (આઇસોપેરામેટ્રિક તત્ત્વ)

દરેક તત્ત્વ \(\Omega^e_0\) ને \(n_e\) નોડ ફાળવવામાં આવે છે. તત્ત્વના નોડ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ના સંદર્ભ ગોઠવણીના નિર્દેશાંક અને નોડલ વિસ્થાપનને \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) માનીએ. આ મૂલ્યોને ગોઠવેલા તત્ત્વ નોડ સદિશો \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) અને \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) સમગ્ર નોડ સદિશો \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) સમગ્ર નોડોની સંખ્યા છે)માંથી તત્ત્વ \(e\) બનાવતા નોડોના ઘટકો પસંદ કરીને બને છે.

તત્ત્વની અંદરના સ્થાનિક નિર્દેશાંક એટલે પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{r}\) ને પરિમાણ તરીકે લેતા આકાર વિધેય \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) વડે પદાર્થ નિર્દેશાંક, વિસ્થાપન અને પરીક્ષણ વિધેયને સમાન આકાર વિધેયોથી અંતર્વેશન કરવામાં આવે છે (આઇસોપેરામેટ્રિક તત્ત્વ અને Galerkin પદ્ધતિ):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

આકાર વિધેયો નીચેના બે ગુણધર્મો પૂર્ણ થાય તે રીતે રચવામાં આવે છે અને પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકથી પદાર્થ નિર્દેશાંકનું નકશાંકન \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) તત્ત્વની અંદર એક-થી-એક રહે તેવો તત્ત્વ આકાર પસંદ કરવામાં આવે છે:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

અહીં \(\boldsymbol{r}_\alpha\) નોડ \(\alpha\) ને અનુરૂપ પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકનું બિંદુ છે અને \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker delta છે. પ્રથમ સમીકરણ કઠોર સ્થાનાંતરણને યથાર્થ પુનઃઉત્પન્ન કરવાની ખાતરી આપે છે અને બીજું સમીકરણ નોડ પર અંતર્વેશન મૂલ્ય નોડલ મૂલ્ય જેટલું જ રહે તેની ખાતરી આપે છે. દરેક તત્ત્વ પ્રકાર માટે \(n_e\) અને \(N_\alpha^e\) ના ચોક્કસ સ્વરૂપો તત્ત્વ નંબરિંગ પ્રણાલી અને આકાર-વિધેય લાઇબ્રેરી તથા ત્યારબાદના વિભાગોમાં આપવામાં આવ્યા છે. નિર્દેશનને અનાવશ્યક જટિલ ન બનાવવા માટે તત્ત્વ પ્રકાર પરની નિર્ભરતા તત્ત્વનું ઉપરલેખ \(e\) વડે પ્રતિનિધિત કરવામાં આવે છે.

ઉપરોક્ત અંતર્વેશન નિયમોથી નબળા સ્વરૂપના સમાકલ્યને માત્ર તત્ત્વના નોડલ મૂલ્યો \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) અને \(N_\alpha^e\) વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે. બીજી તરફ, વિકૃતિ અંતર્વેશન કરેલા વિસ્થાપન અને વિકૃતિ-વિસ્થાપન સંબંધમાંથી તથા તાણ તે વિકૃતિ અને સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમમાંથી પ્રાપ્ત થાય છે; તેઓને નોડલ મૂલ્યોમાંથી સીધા અંતર્વેશન કરવામાં આવતા નથી. આ રાશિઓ તત્ત્વની અંદરના સમાકલ બિંદુઓ પર મૂલ્યાંકિત થાય છે (સંખ્યાત્મક સમાકલન).

સમગ્ર નોડ સદિશની ગોઠવણીનો નિયમ

નોડને ફાળવાયેલી ભૌતિક રાશિઓ સમગ્ર નોડ સદિશમાં નોડ ક્રમાંક → સ્વતંત્રતા અંશ ના વધતા ક્રમમાં ગોઠવાય છે. નોડ \(\alpha\) પર સ્વતંત્રતા અંશ \(i\) નો ઘટક \(u_{i\alpha}\) માનીએ તો 3 પરિમાણ (\(i=1,2,3\)) અને 2 પરિમાણ (\(i=1,2\)) માં અનુક્રમે

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

થાય છે. નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{X}^n\) અને પરીક્ષણ વિધેય \(\delta\boldsymbol{u}^n\) પણ એ જ ગોઠવણી અનુસરે છે. આગળના મેટ્રિક્સ અને સદિશ સ્વરૂપના સમીકરણોમાં 3 પરિમાણને પ્રતિનિધિ રૂપે ઉપયોગમાં લેવામાં આવશે.

સંબંધિત વિષયો