Skip to content

આકાર વિધેયોના અવકાશીય અવકલન

આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ માં રજૂ કરાયેલ આકાર વિધેય \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) તત્ત્વના સ્થાનિક નિર્દેશાંક એવા પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકો \(\boldsymbol{r}\) ના ફંક્શન તરીકે આપવામાં આવે છે. બીજી તરફ નબળા સ્વરૂપના સમાકલ્યમાં વિકૃતિ-વિસ્થાપન સંબંધ દ્વારા ભૌતિક નિર્દેશાંક (સંદર્ભ ગોઠવણી \(\boldsymbol{X}\) અથવા વર્તમાન ગોઠવણી \(\boldsymbol{x}\)) સંબંધિત આંશિક અવકલનો \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) અથવા \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) આવે છે. આ અધ્યાયમાં આ આકાર વિધેયના અવકાશીય અવકલનો તત્ત્વના નોડ નિર્દેશાંક અને પ્રાકૃતિક-નિર્દેશાંક અવકલનો પરથી કેવી રીતે ગણવા તે ગોઠવવામાં આવ્યું છે.

શૃંખલા નિયમ દ્વારા અવકાશીય અવકલનની અભિવ્યક્તિ

આંતરક્ષેપ અભિવ્યક્તિ \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (પાછલું અધ્યાય) પર શૃંખલા નિયમ લાગુ કરતાં પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકોથી ભૌતિક નિર્દેશાંકો સુધીના નકશાંકનની જેકોબિયન મેટ્રિક્સ \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) વડે

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

મળે છે. અહીં \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) અને \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) એ \(n_e \times 3\) મેટ્રિક્સો છે જેમાં પંક્તિ \(\alpha\) નોડ \(\alpha\) નો આંશિક-અવકલન સદિશ દર્શાવે છે.

જેકોબિયન મેટ્રિક્સની રચના

આંતરક્ષેપ અભિવ્યક્તિને \(\boldsymbol{r}\) અંગે અવકલન કરતાં

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

મળે છે અને જેકોબિયન મેટ્રિક્સને તત્ત્વ નોડ નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) અને પ્રાકૃતિક-નિર્દેશાંક અવકલનો \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) પરથી સીધી રચી શકાય છે. પ્રાકૃતિક-નિર્દેશાંક અવકલનો આકાર વિધેયના કાર્યાત્મક સ્વરૂપ પરથી નક્કી થાય છે અને દરેક તત્ત્વ પ્રકાર માટે પહેલેથી અમલમાં મૂકવામાં આવે છે.

જેકોબિયન નિર્ધારક \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) નો ઉપયોગ સંખ્યાત્મક સમાકલન માં ઘનફળ તત્ત્વ પરિવર્તન \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) માટે થાય છે. નિર્ધારક \(0\) હોય તો તત્ત્વ અપક્ષયિત છે અને ગણતરી નિષ્ફળ જાય છે.

ગણતરીનો પ્રવાહ

ઉપરની ઉત્પત્તિ પરથી અવકાશીય અવકલન \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ની ગણતરી નીચેના ચાર તબક્કામાં વહેંચી શકાય છે.

  1. પ્રાકૃતિક-નિર્દેશાંક અવકલનની ગણતરી: તત્ત્વ પ્રકાર અને મૂલ્યાંકન બિંદુના પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકો \(\boldsymbol{r}\) ને ઇનપુટ તરીકે લઈ પ્રાકૃતિક-નિર્દેશાંક અવકલન મેટ્રિક્સ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ગણો. આકાર વિધેયનો કાર્યાત્મક સ્વરૂપ તત્ત્વ પ્રકાર પ્રમાણે બદલાતો હોવાથી અહીં તત્ત્વ પ્રકાર મુજબ શાખાબંધી થાય છે.
  2. જેકોબિયન મેટ્રિક્સની ગણતરી: તત્ત્વ નોડ નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{X}^e\) અને \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) પરથી પહેલાંના વિભાગના સમીકરણ મુજબ જેકોબિયન મેટ્રિક્સ \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) બનાવો.
  3. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અને નિર્ધારકની ગણતરી: જેકોબિયન મેટ્રિક્સનું વ્યસ્ત \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) અને નિર્ધારક ગણો. નિર્ધારક સંખ્યાત્મક સમાકલનના વજન માટે વપરાય છે.
  4. અવકાશીય અવકલનની ગણતરી: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) અને \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ના ગુણાકારથી અવકાશીય અવકલન \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) મેળવો.

આ ચાર તબક્કા તત્ત્વ પ્રકાર અને અવકાશ પરિમાણ (દ્વિ-પરિમાણીય/ત્રિ-પરિમાણીય) પ્રમાણે શાખાબંધી થાય છે, પરંતુ કુલ પ્રવાહ સમાન રહે છે.

સંદર્ભ ગોઠવણી અને વર્તમાન ગોઠવણી વચ્ચે સામાન્ય પ્રક્રિયા

ઉપરની જ પ્રક્રિયામાં \(\boldsymbol{X}^e\) ને વર્તમાન-ગોઠવણી નોડ નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) થી બદલવાથી વર્તમાન ગોઠવણી માટેનું અવકાશીય અવકલન \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) પણ મળે છે. તેથી કુલ Lagrange અને અપડેટેડ Lagrange પદ્ધતિમાં ઇનપુટ નોડ નિર્દેશાંક બદલવાથી સમાન પ્રક્રિયા વહેંચી શકાય છે.

સંબંધિત વિષયો