Skip to content

આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ

વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણનું માળખું માં દર્શાવેલ સમય \(t + \Delta t\) પરનું આભાસી કાર્ય સમીકરણ સંદર્ભ ગોઠવણીની પસંદગી અનુસાર Updated Lagrange અને Total Lagrange એમ બે પ્રકારમાં વહેંચાય છે. આ અધ્યાયમાં આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ તથા આકાર વિધેયોના અવકાશીય અવકલન માં રજૂ કરેલા સીમિત તત્ત્વ અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને બંને સૂત્રીકરણોના આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું અવકાશીય વિવિક્તીકરણ કરવામાં આવે છે અને તત્ત્વ આંતરિક બળ સદિશ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL પદ્ધતિ) તથા \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL પદ્ધતિ) મેળવવામાં આવે છે.

તત્ત્વ \(e\) ના રચનાત્મક નોડ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) માટેના વિસ્થાપનને \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) તરીકે ગોઠવી, તત્ત્વ નોડ વિસ્થાપન સદિશને \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) તરીકે રાખવામાં આવે છે; આભાસી વિસ્થાપન \(\delta \boldsymbol{u}^e\) પણ એ જ ક્રમમાં વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તત્ત્વની અંદરનું વિસ્થાપન આકાર વિધેયથી \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) તરીકે ઇન્ટરપોલેટ થાય છે.

Updated Lagrange પદ્ધતિમાં આંતરિક બળનું આભાસી કાર્ય

Updated Lagrange પદ્ધતિમાં સમય \(t\) ની વર્તમાન ગોઠવણી \({}^{t}\Omega\) ને સંદર્ભ ગોઠવણી તરીકે લઈને, Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) અને Almansi વિકૃતિના રેખીય ભાગ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) વડે આંતરિક બળનું આભાસી કાર્ય

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

રૂપે લખાય છે. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) નો દરેક ઘટક વર્તમાન ગોઠવણીના નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{x}\) અંગેના આકાર વિધેય અવકલન \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) અને નોડ આભાસી વિસ્થાપન \(\delta u^e_{i\alpha}\) ના રેખીય સંયોજન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે; Voigt સંકેતનમાં

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

રૂપે ગોઠવી શકાય છે. નોડ બ્લોક \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) એ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ને Voigt નિયમ પ્રમાણે ગોઠવેલ \(6 \times 3\) મેટ્રિક્સ છે અને \(\boldsymbol{B}_L\) UL પદ્ધતિનું વિકૃતિ-વિસ્થાપન સંબંધ મેટ્રિક્સ બને છે. તેને આંતરિક બળના આભાસી કાર્યમાં મૂકી \(\delta \boldsymbol{u}^e\) અલગ કરતાં

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

મળે છે. \(\boldsymbol{q}^e\) નો નોડ બ્લોક \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) એ તત્ત્વ \(\Omega^e\) ના રચનાત્મક નોડ \(\alpha\) પર લાગતું આંતરિક બળ છે.

Total Lagrange પદ્ધતિમાં આંતરિક બળનું આભાસી કાર્ય

Total Lagrange પદ્ધતિમાં મૂળ ગોઠવણી \(\Omega_0\) ને સંદર્ભ ગોઠવણી તરીકે લઈને, 2nd Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) વડે

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

રૂપે લખાય છે. \(\delta \boldsymbol{E}\) ને આભાસી વિસ્થાપન અંગેના રેખીય પદ અને વર્તમાન વિસ્થાપન ઢાળ \(\partial u_k/\partial X_j\) સાથેના ગુણાકાર ધરાવતા અરેખીય પદમાં વહેંચી શકાય છે:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

રેખીય પદ માટે UL પદ્ધતિ જેવી ગોઠવણીનો નિયમ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) પર લાગુ કરેલા નોડ બ્લોક \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) વડે

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

રૂપે લખી શકાય છે (સંદર્ભ ગોઠવણીના તફાવતથી તત્ત્વો ફક્ત \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ના બદલે \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) થાય છે; સંકેત UL પદ્ધતિ સાથે જ વપરાય છે). અરેખીય પદ વર્તમાન વિસ્થાપન ઢાળ \(\partial u_k/\partial X_j\) અને \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ના ગુણાકારને Voigt નિયમ પ્રમાણે ગોઠવેલા નોડ બ્લોક \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) વડે

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

રૂપે લખી શકાય છે. તેથી \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) અને \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL પદ્ધતિનું વિકૃતિ-વિસ્થાપન સંબંધ મેટ્રિક્સ છે. તેને આંતરિક બળના આભાસી કાર્યમાં મૂકતાં

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

મળે છે. નોડ બ્લોક \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) તત્ત્વ \(\Omega^e_0\) ના રચનાત્મક નોડ \(\alpha\) પર લાગતું આંતરિક બળ છે.

UL/TL ની અનુરૂપતા અને ગણતરી પ્રવાહ

Updated Lagrange અને Total Lagrange પદ્ધતિઓના તત્ત્વ આંતરિક બળ સદિશો વચ્ચે નીચેની અનુરૂપતા છે.

આઇટમ Updated Lagrange પદ્ધતિ Total Lagrange પદ્ધતિ
સંદર્ભ ગોઠવણી વર્તમાન ગોઠવણી \({}^{t}\Omega^e\) મૂળ ગોઠવણી \(\Omega^e_0\)
તાણ ટેન્સર Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) 2nd PK તાણ \(\boldsymbol{S}\)
વિકૃતિનું પરિવર્તન \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B મેટ્રિક્સ \(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)） \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)）
તત્ત્વ આંતરિક બળ \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

બંને માટે સમાન પ્રક્રિયા વાપરી શકાય છે: “આકાર વિધેયના અવકાશીય અવકલનમાંથી \(\boldsymbol{B}_L\) બનાવવું”, “TL પદ્ધતિમાં વર્તમાન વિસ્થાપન ઢાળમાંથી \(\boldsymbol{B}_{NL}\) બનાવી ઉમેરવું”, “તાણ (\(\boldsymbol{\sigma}\) અથવા \(\boldsymbol{S}\)) સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ પ્રમાણે અપડેટ કરવું”, અને “સમાકલન બિંદુઓ પર \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) અથવા \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ને તત્ત્વ ક્ષેત્ર પર સંખ્યાત્મક રીતે સમાકલિત કરવું (સંખ્યાત્મક સમાકલન)”. સંદર્ભ ગોઠવણીનું સ્વિચિંગ (નોડ નિર્દેશાંક અને \(\boldsymbol{B}\) મેટ્રિક્સની રચના) તથા તાણ ટેન્સરનું બદલાણ સિવાય બધું સામાન્ય હોવાથી FrontISTR બંને પદ્ધતિની આંતરિક બળ ગણતરી સામાન્ય સબરૂટિનથી અમલમાં મૂકે છે. તત્ત્વ આંતરિક બળ સદિશો \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\)માંથી વૈશ્વિક આંતરિક બળ સદિશનું સંયોજન બાહ્ય બળનું આભાસી કાર્ય અને વૈશ્વિક સમીકરણનું સંયોજન માં આવરી લેવાય છે.

સંબંધિત વિષયો