Skip to content

બાહ્ય બળનું આભાસી કાર્ય અને વૈશ્વિક સમીકરણનું સંયોજન

આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ માં નબળું સ્વરૂપની ડાબી બાજુને તત્ત્વ આંતરિક-બળ સદિશ \(\boldsymbol{q}^e\) (UL પદ્ધતિ) અથવા \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL પદ્ધતિ) માં સમેટવામાં આવી હતી. આ અધ્યાયમાં બાહ્ય આભાસી કાર્યમાંથી તત્ત્વ નોડલ બાહ્ય-બળ સદિશ \(\boldsymbol{F}^e\) રજૂ કરીને, તત્ત્વ નોડલ ભૌતિક રાશિઓને સમગ્ર નોડ સંખ્યા મુજબ ફરી ગોઠવી એકત્ર કરતી સંયોજન પ્રક્રિયા દ્વારા FrontISTR અરેખીય માળખાકીય વિશ્લેષણ ઉકેલે તેવી નોડલ વિસ્થાપન અંગેની અરેખીય સમીકરણ સિસ્ટમ સુધી પહોંચીએ છીએ.

બાહ્ય બળના આભાસી કાર્યનું તત્ત્વ વિભાજન

આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંત ની જમણી બાજુને દેહ બળ અને યાંત્રિક સીમા પરના નિર્ધારિત સપાટી બળથી બનેલા બાહ્ય આભાસી કાર્ય તરીકે તત્ત્વ-વાર વિભાજિત કરી શકાય છે. આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ માં રજૂ કરેલું વિસ્થાપન અંતર્વેશન મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખવા, નોડ \(\alpha\) ના આકાર વિધેય \(N_\alpha^e\) ને વિકર્ણમાં ધરાવતો \(d \times d\) બ્લોક \(\boldsymbol{N}_\alpha\) અને તેને આડી રીતે ગોઠવેલું \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) લઈ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) લખીએ. તેને સંદર્ભ ગોઠવણીમાં લખાયેલા બાહ્ય આભાસી કાર્યમાં સ્થાને મૂકતાં

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

મળે છે. અહીં તત્ત્વ નોડલ બાહ્ય-બળ સદિશ ને \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) તરીકે ગોઠવ્યો છે. તેથી બાહ્ય આભાસી કાર્ય આંતરિક-બળ બાજુ જેવી “તત્ત્વ નોડલ સદિશ × પરીક્ષણ વિધેય” રચનામાં આવે છે. વર્તમાન ગોઠવણીમાં લખીએ તો \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) બદલી સમાન સ્વરૂપ મળે છે.

તત્ત્વ નોડલ ભૌતિક રાશિઓનું સંયોજન

દરેક તત્ત્વમાં મળેલા નોડલ રાશિઓ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ને સમગ્ર નોડ સંખ્યા મુજબ ગોઠવેલા સમગ્ર સદિશોમાં એકત્ર કરીએ. તત્ત્વ \(\Omega^e\) ના સ્થાનિક નોડ સંખ્યા \(\alpha\) ને અનુરૂપ સમગ્ર નોડ સંખ્યાને

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

લખીએ તો તત્ત્વ નોડલ રાશિ સમગ્ર નોડલ રાશિના અનુરૂપ ઘટક જેટલી થાય છે (જેમ કે \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). સામાન્ય રીતે નોડ \(i_g\) અનેક તત્ત્વોમાં સહભાગી હોય છે, તેથી સમગ્ર નોડ સંખ્યા \(i_g\) આપતી \((e, \alpha)\) જોડીઓનો સમૂહ

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

લેતાં \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) રીતે સરવાળો બદલી શકાય છે. તેથી બધા \(n_g\) નોડો માટે નોડલ આંતરિક બળ અને સમગ્ર આંતરિક-બળ સદિશ

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

મળે છે. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) નોડ \(i_g\) પર કાર્ય કરતા તત્ત્વ નોડલ આંતરિક બળોનું પરિણામી બળ છે અને બાહ્ય બળ ન હોય તથા સંતુલન હોય તો \(\boldsymbol{0}\) બને છે. UL પદ્ધતિમાં પણ એ જ રીતે \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) મળે છે અને મૂલ્યરૂપે \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) હોવાથી આગળ ખાસ ભેદ જરૂરી ન હોય ત્યાં \(\boldsymbol{Q}\) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સમગ્ર બાહ્ય-બળ સદિશ \(\boldsymbol{F}\) પણ સમાન એકત્રીકરણથી મળે છે.

અમલીકરણમાં સમૂહ \(\mathcal{E}(i_g)\) સ્પષ્ટ બનાવવાને બદલે તત્ત્વ લૂપમાં અનુરૂપ ઘટકમાં ઉમેરાય છે.

સમગ્ર આંતરિક-બળ સદિશ Q ને 0 થી પ્રારંભ કરો: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (તત્ત્વોની સંખ્યા)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

સમગ્ર બાહ્ય-બળ સદિશ \(\boldsymbol{F}\) પણ એ જ પ્રક્રિયાથી બને છે. સમગ્ર નોડ સંખ્યાઓ દ્વારા સૂચકાંકિત સદિશ/મેટ્રિક્સમાં તત્ત્વ નોડલ રાશિઓ ઉમેરવાની અને સંગ્રહવાની આ પ્રક્રિયાને સંયોજન કહે છે. બે નોડ સંખ્યાઓ અંગેના દ્વિતીય-ક્રમ ટેન્સર (જેમ કે કઠોરતા મેટ્રિક્સ) માટે સમૂહ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) વડે સમાન સંયોજન મળે છે; ચોક્કસ રચના માટે સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ જુઓ.

ઉકેલવાનું અરેખીય સમીકરણ

આંતરિક અને બાહ્ય બળ સંયોજનને આભાસી કાર્યના સિદ્ધાંત માં સ્થાને મૂકતાં અને ભૌમિતિક સીમા શરત સંતોષતા કોઈપણ પરીક્ષણ વિધેય \(\delta\boldsymbol{u}^n\) માટે તે માન્ય રહેવાને કારણે

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

મળે છે. વૃદ્ધિગત વિશ્લેષણ (વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણનું માળખું) ના સંદર્ભમાં સમય અધોલેખ \(_{n+1}\) ફરી મૂકીને અને સમગ્ર નોડલ સદિશ દર્શાવતું ઉપરલેખ \(^n\) છોડીએ તો ઉકેલવાનું સમીકરણ છે

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

અર્થાત્ સમય \(t_{n+1}\) પર નોડલ વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) શોધવાનું વિવિક્ત સીમા-મૂલ્ય સમસ્યા, ભૌમિતિક સીમા શરતો સાથે આ વિસ્થાપન અંગેનું અરેખીય સમીકરણ ઉકેલવામાં ઘટે છે. સમીકરણના રેખીકરણ અને સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ માટે સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ અને પુનરાવર્તિત ઉકેલ માટે Newton-Raphson પદ્ધતિ જુઓ.

સંબંધિત વિષયો