સંખ્યાત્મક સમાકલન¶

આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ અને બાહ્ય બળનું આભાસી કાર્ય અને વૈશ્વિક સમીકરણનું સંયોજન માં મેળવેલા તત્ત્વ આંતરિક બળ સદિશો \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) તથા તત્ત્વ કઠોરતા મેટ્રિક્સ \(\boldsymbol{K}^e\) તત્ત્વ ક્ષેત્ર \(\Omega^e\) અથવા \(\Omega^e_0\) પરના સમાકલનના સ્વરૂપમાં હોય છે. FrontISTR તેમને Gauss સમાકલન સૂત્રથી સંખ્યાત્મક રીતે મૂલ્યાંકિત કરે છે.

Gauss સમાકલન સૂત્ર અને ચલ રૂપાંતરણ¶

Gauss સમાકલન સૂત્ર પ્રમાણભૂત ક્ષેત્ર \(\Xi\) પરના સમાકલનને સમાકલન બિંદુઓ \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) પરના સમાકલ્ય મૂલ્યો અને વજન \(w_i\) ના રેખીય સરવાળા વડે અંદાજે રજૂ કરે છે. તેને તત્ત્વ ક્ષેત્ર \(\Omega^e\) પર લાગુ કરવા માટે નકશીકરણ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) દ્વારા ચલ રૂપાંતરણ જરૂરી છે,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

એ રીતે લખી શકાય છે. \(n_q\) સમાકલન બિંદુઓની સંખ્યા અને \(J_{\xi_i}\) રૂપાંતરણ જેકોબિયનનો નિર્ધારક છે. પ્રમાણભૂત ક્ષેત્ર \(\Xi\) તત્ત્વ પ્રકાર પ્રમાણે નિર્ધારિત છે (હેક્ઝાહેડ્રલ માટે \([-1,1]^3\) અને ત્રિકોણ, ટેટ્રાહેડ્રલ તથા પ્રિઝમ માટે તેમના સંદર્ભ આકારો). સમાકલન બિંદુઓ \(\boldsymbol{\xi}_i\) અને વજન \(w_i\) સંખ્યાત્મક કોષ્ટક તરીકે આપવામાં આવે છે. સપાટી સમાકલન પણ તત્ત્વ સપાટીને દ્વિમિતિ પ્રમાણભૂત ક્ષેત્રમાંથી નકશીકરણ કરીને એ જ સ્વરૂપમાં સંભાળવામાં આવે છે.

FrontISTR માં વપરાતી પ્રતિનિધિ સમાકલન બિંદુ સંખ્યાઓ નીચે દર્શાવેલી છે (તત્ત્વ પ્રકારની અનુરૂપતા માટે તત્ત્વ નંબરિંગ પ્રણાલી અને આકાર-વિધેય લાઇબ્રેરી જુઓ).

તત્ત્વ પ્રકાર	સમાકલન સૂત્ર	સમાકલન બિંદુઓની સંખ્યા
4 -નોડ ટેટ્રાહેડ્રલ（`tet4n`）	1 -બિંદુ સૂત્ર	1
10 -નોડ ટેટ્રાહેડ્રલ（`tet10n`）	4 -બિંદુ સૂત્ર	4
6 -નોડ પ્રિઝમ（`prism6n`）	2 -બિંદુ સૂત્ર	2
15 -નોડ પ્રિઝમ（`prism15n`）	9 -બિંદુ સૂત્ર	9
8 -નોડ હેક્ઝાહેડ્રલ（`hex8n`）	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 -નોડ હેક્ઝાહેડ્રલ（`hex20n`）	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 -નોડ ચતુષ્કોણ（`quad4n`）	2×2 Gauss-Legendre	4
8 -નોડ ચતુષ્કોણ（`quad8n`）	3×3 Gauss-Legendre	9
3 -નોડ ત્રિકોણ（`tri3n`）	1 -બિંદુ સૂત્ર	1
6 -નોડ ત્રિકોણ（`tri6n`）	3 -બિંદુ સૂત્ર	3

હેક્ઝાહેડ્રલ, ચતુષ્કોણ અને રેખાખંડ તત્ત્વો માટે દરેક અક્ષ દિશાના Gauss-Legendre સૂત્રનો ટેન્સર ગુણાકાર લેવામાં આવે છે. ત્રિકોણ, ટેટ્રાહેડ્રલ અને પ્રિઝમ માટે સિમ્પ્લેક્સ આકારને અનુરૂપ વિશેષ સૂત્રો વપરાય છે, જેમાં સંબંધિત આકાર પર બહુપદીને ચોક્કસ સમાકલિત કરતી બિંદુ ગોઠવણી હોય છે.

તત્ત્વ સમાકલનમાં ઉપયોગ¶

તત્ત્વ સમાકલનમાં પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકો \(\boldsymbol{r}\) પ્રમાણભૂત ક્ષેત્રના નિર્દેશાંક તરીકે લેવાય છે (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), અને ભૌતિક નિર્દેશાંકોનું નકશીકરણ આકાર વિધેયથી નોડ નિર્દેશાંક ઇન્ટરપોલેશન દ્વારા મળે છે. સંદર્ભ ગોઠવણીની પસંદગી (વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણનું માળખું) પ્રમાણે નીચે મુજબ ઉપયોગ થાય છે.

Total Lagrange પદ્ધતિ（સંદર્ભ ગોઠવણી \(\Omega^e_0\) પર સમાકલન）：નકશીકરણ અને જેકોબિયનને

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

રૂપે લઈને, તત્ત્વ આંતરિક બળ અને કઠોરતા મેટ્રિક્સને

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

થી અંદાજવામાં આવે છે.\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) બધાને સમાકલન બિંદુ \(\boldsymbol{r}_i\) પર મૂલ્યાંકિત કરવામાં આવે છે.

Updated Lagrange પદ્ધતિ（વર્તમાન ગોઠવણી \(\Omega^e\) પર સમાકલન）：નકશીકરણ અને જેકોબિયનને

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

રૂપે લઈને,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

થી અંદાજવામાં આવે છે.

બંને સૂત્રીકરણોમાં એકમાત્ર તફાવત એ છે કે નકશીકરણ ઇનપુટના નોડ નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) છે કે \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\). સમાકલન બિંદુઓ, વજન અને સમાકલન-બિંદુ લૂપની રચના બંનેમાં સમાન છે.

પૂર્ણ સમાકલન અને ઘટાડેલ-ક્રમ સમાકલન¶

સમાકલ્યની બહુપદી ડિગ્રીને ચોક્કસ રીતે સમાકલિત કરી શકે એટલા સમાકલન બિંદુઓ વાપરતું સમાકલન પૂર્ણ સમાકલન કહેવાય છે; તે કરતાં એક સ્તર ઓછા સમાકલન બિંદુઓ વાપરતું ઘટાડેલ-ક્રમ સમાકલન કહેવાય છે. ઘટાડેલ-ક્રમ સમાકલન કતરણી અને ઘનફળીય લોકિંગ ઘટાડવા માટે વપરાય છે, પરંતુ અવરગ્લાસ મોડ જેવા કૃત્રિમ વિરૂપતા મોડ માટે ઉપચાર જરૂરી છે. તત્ત્વ પ્રકાર પ્રમાણે સમાકલન બિંદુઓની સંખ્યા અને પૂર્ણ/ઘટાડેલ પસંદગી તત્ત્વ નંબરિંગ પ્રણાલી અને આકાર-વિધેય લાઇબ્રેરી પછીના વિભાગો તથા ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ તત્ત્વ સૂત્રીકરણ માં આવરી લેવાય છે.

સંબંધિત વિષયો¶

આકાર વિધેયોના અવકાશીય અવકલન — જેકોબિયનની ગણતરી
આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ — સંખ્યાત્મક સમાકલનનો વિષય
ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ તત્ત્વ સૂત્રીકરણ — ઘટાડેલ-ક્રમ સમાકલનનો ઉપયોગ