Skip to content

3-પરિમાણીય ઘન તત્ત્વોના આકાર વિધેયો

આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ માં રજૂ કરેલા આકાર વિધેય \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) માટે FrontISTR સતત માધ્યમ વિશ્લેષણમાં વાપરતા 3-પરિમાણીય ઘન તત્ત્વોના પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક અને ચોક્કસ સ્વરૂપો અહીં સંકલિત છે. તેમાં ચતુષ્ફલકીય પ્રથમ/દ્વિતીય ક્રમ (341, 342), ત્રિકોણીય-પ્રિઝમ પ્રથમ/દ્વિતીય ક્રમ (351, 352) અને ષટ્ફલકીય પ્રથમ/દ્વિતીય ક્રમ (361, 362) એમ છ પ્રકાર આવે છે. HEC-MW મેશ ફોર્મેટમાં નોડ ક્રમ અને સપાટી સંખ્યાઓ માટે કાર્ય-સંદર્ભના તત્ત્વ લાઇબ્રેરી જુઓ.

આ આકાર વિધેયો અને Jacobian નિર્ધારકથી તત્ત્વ સમાકલ કેવી રીતે બને છે તે સંખ્યાત્મક સમાકલન મુજબ છે. 361 માટે B-bar, F-bar અને અસંગત સૂત્રીકરણ તથા બીમ અને શેલ તત્ત્વોના આકાર વિધેયો ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ તત્ત્વ સૂત્રીકરણ માં વર્ણવ્યા છે.

પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક અને આંતરિક નોડ ક્રમ

આકાર વિધેયો દરેક તત્ત્વના પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{r}\) પર વ્યાખ્યાયિત થાય છે. 3-પરિમાણીય ઘન તત્ત્વોમાં તત્ત્વના આકાર અનુસાર નીચેની ત્રણ પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક પ્રણાલીઓ વપરાય છે.

  • ષટ્ફલક (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • ચતુષ્ફલક (341, 342): ઘનફળ નિર્દેશાંકો \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). સ્વતંત્ર ચલ તરીકે \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) લઈ \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) નક્કી થાય છે.
  • ત્રિકોણીય પ્રિઝમ (351, 352): આધાર ત્રિકોણના ઘનફળ નિર્દેશાંકો \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) અને અક્ષીય નિર્દેશાંક \(\zeta \in [-1, 1]\) ને જોડીને \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) લેવાય છે. સહાયક રાશિ \(a = 1 - \xi - \eta\) આધારના ત્રીજા ઘનફળ નિર્દેશાંક તરીકે વપરાય છે.

પ્રથમ ક્રમના તત્ત્વોમાં નોડ ક્રમ HEC-MW ઇનપુટ ફોર્મેટ અને આંતરિક ફોર્મેટમાં સમાન છે. દ્વિતીય ક્રમના તત્ત્વોમાં ધાર-મધ્યબિંદુ નોડોનો ક્રમ બંને ફોર્મેટમાં જુદો છે. FrontISTR ઇનપુટ તરીકે HEC-MW ફોર્મેટ સ્વીકારે છે, જેમાં ખૂણાના નોડો પછી ધાર 1-2, 2-3, ... ક્રમે મધ્યબિંદુ નોડો ગોઠવાય છે, જ્યારે તત્ત્વ લાઇબ્રેરીના આકાર વિધેયો અલગ આંતરિક નોડ ક્રમ ધારણ કરે છે.

આ તફાવત મેશ વાંચ્યા પછી તરત બોલાવવામાં આવતા hecmw2fstr_mesh_conv દ્વારા દરેક તત્ત્વના નોડને ફરી ગોઠવીને દૂર થાય છે. 3-પરિમાણીય ઘન તત્ત્વોમાં નીચેના બે પ્રકાર માટે રૂપાંતરણ થાય છે.

તત્ત્વ પ્રકાર રૂપાંતરણ કોષ્ટક વર્ણન
342 (દ્વિતીય ક્રમ ચતુષ્ફલક) Table342 10 નોડને \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ક્રમે ગોઠવે છે
352 (દ્વિતીય ક્રમ ત્રિકોણીય પ્રિઝમ) Table352 15 નોડને \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ક્રમે ગોઠવે છે

ફરી ગોઠવણી તત્ત્વ જોડાણ સંગ્રહતા એરે પર સીધી થાય છે, તેથી ત્યારબાદના તમામ તત્ત્વ-લાઇબ્રેરી કૉલ્સ FrontISTR ના આંતરિક નોડ ક્રમનો ઉપયોગ કરે છે. દ્વિતીય ક્રમ ષટ્ફલકીય તત્ત્વ 362 માટે HEC-MW અને FrontISTR ના આંતરિક ફોર્મેટમાં મધ્યબિંદુ-નોડ ક્રમ સમાન હોવાથી રૂપાંતરણ કોષ્ટક નથી. પરિણામ લખતી વખતે વ્યસ્ત રૂપાંતરણ fstr2hecmw_mesh_conv બોલાવી નોડ ક્રમ HEC-MW ફોર્મેટમાં પાછો ફેરવવામાં આવે છે; તેથી ઇનપુટ અને આઉટપુટ બંને માટે વપરાશકર્તાએ માત્ર HEC-MW ફોર્મેટ ધ્યાનમાં રાખવું પડે છે. નીચેના આકાર વિધેયોના નોડ ક્રમાંક રૂપાંતરણ પછીના FrontISTR આંતરિક ફોર્મેટ મુજબ છે.

પ્રથમ ક્રમના તત્ત્વોના આકાર વિધેયો

પ્રથમ ક્રમ ચતુષ્ફલકીય તત્ત્વ (341) ના આકાર વિધેયો ઘનફળ નિર્દેશાંકો પોતે જ છે:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

પ્રથમ ક્રમ ત્રિકોણીય-પ્રિઝમ તત્ત્વ (351) ના આકાર વિધેયો આધાર ત્રિકોણના રેખીય આકાર વિધેયો (\(a, \xi, \eta\)) અને અક્ષીય દિશાના રેખીય આકાર વિધેયો (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) ના ગુણાકાર છે:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

પ્રથમ ક્રમ ષટ્ફલકીય તત્ત્વ (361) ના આકાર વિધેયો ત્રણ અક્ષ દિશાના રેખીય આકાર વિધેયોના ટેન્સર ગુણનફળ છે:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

અહીં \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) નોડ \(\alpha\) ના પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક મૂલ્યો દર્શાવે છે અને દરેક ઘટક \(\pm 1\) છે.

દ્વિતીય ક્રમના તત્ત્વોના આકાર વિધેયો

દ્વિતીય ક્રમ ચતુષ્ફલકીય તત્ત્વ (342) ના આકાર વિધેયોમાં ચાર ખૂણાના નોડો અને છ ધાર-મધ્યબિંદુ નોડો હોય છે:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

મધ્ય નોડ 5–10 અનુક્રમે ધાર 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 અને 3-4 ના મધ્યબિંદુને અનુરૂપ છે.

દ્વિતીય ક્રમ ત્રિકોણીય-પ્રિઝમ તત્ત્વ (352) માં 6 ખૂણાના નોડો, ત્રિકોણીય સપાટી પર 6 ધાર-મધ્યબિંદુ નોડો અને અક્ષીય ધારો પર 3 મધ્યબિંદુ નોડો હોય છે:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

મધ્ય નોડ 7–9 આધાર ત્રિકોણ (\(\zeta = -1\)) ની દરેક ધારના મધ્યબિંદુ, 10–12 ઉપરની ત્રિકોણીય સપાટી (\(\zeta = +1\)) ની દરેક ધારના મધ્યબિંદુ અને 13–15 અક્ષીય ધારોના મધ્યબિંદુને અનુરૂપ છે.

દ્વિતીય ક્રમ ષટ્ફલકીય તત્ત્વ (362) Serendipity પરિવારનું 20-નોડ તત્ત્વ છે. નોડ \(\alpha\) ના પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંક \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) માનીએ. ખૂણાના નોડો (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), દરેક ઘટક \(\pm 1\)) માટે

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

ધાર-મધ્યબિંદુ નોડો (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), ત્રણ પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકોમાંથી એક \(0\) અને બાકીના બે \(\pm 1\)) માં \(\xi_\alpha = 0\) એવા નોડ (ધાર દિશા \(\xi\) અક્ષ) માટે

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

ધાર દિશા \(\eta\) અક્ષ અને \(\zeta\) અક્ષ હોય તેવા મધ્યબિંદુ નોડો માટે પણ એ જ રીતે સંબંધિત પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકનો વર્ગ પદ વાપરી સમીકરણ મળે છે.

સંબંધિત વિષયો