Skip to content

Translation update pending

The Gujarati translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ તત્ત્વ સૂત્રીકરણો

3-પરિમાણીય ઘન તત્ત્વ સૂત્રીકરણ માં બતાવેલી વિસ્થાપન-આધારિત માનક સૂત્રીકરણને લગભગ અસંકોચ્ય સામગ્રી અથવા વંકન-પ્રધાન પાતળી રચનામાં વાપરતાં લૉકિંગ (ઘનફળીય લૉકિંગ અથવા કાતર લૉકિંગ) નામની અયોગ્ય વધારાની કઠોરતા દેખાય છે. તેને ટાળવા FrontISTR B મેટ્રિક્સ અથવા વિરૂપતા ઢાળના માત્ર ઘનફળીય ભાગને બદલી નાખતી B-bar અને F-bar પદ્ધતિઓ, આંતરિક DOF ઉમેરતા અસંગત તત્ત્વો, દબાણને સ્વતંત્ર અજ્ઞાત ક્ષેત્ર તરીકે લેતા u-p મિશ્ર તત્ત્વો તથા પ્લેટ/બીમ રચના માટે વિશિષ્ટ MITC શેલ તત્ત્વો અને બીમ તત્ત્વો આપે છે.

આ અધ્યાયમાં આવા ઉચ્ચ-કાર્યક્ષમ અને રચનાત્મક તત્ત્વોની સૂત્રીકરણોને તત્ત્વ-વાર ગોઠવવામાં આવે છે.

B-bar પદ્ધતિ

8-નોડ રેખીય ષટ્ફલકીય તત્ત્વને લગભગ અસંકોચ્ય સામગ્રી માટે વાપરતાં એક તત્ત્વ અંદરની વિકૃતિ અને સ્થિરાંક-ઘનફળ નિયંત્રણ વચ્ચે વિસંગતિથી ઘનફળીય લૉકિંગ રૂપે અતિશય કઠોરતા થાય છે. B-bar પદ્ધતિ B મેટ્રિક્સના ઘનફળીય વિસ્તરણમાં યોગદાન આપતા ભાગને તત્ત્વ કેન્દ્ર પર મૂલ્યાંકિત મૂલ્યથી બદલે છે અને અતિનિયંત્રણ ઘટાડે છે [Hughes1980].

તત્ત્વ કેન્દ્ર \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) પર આકાર-વિધેય અવકાશીય અવકલનોથી ગણાયેલ B મેટ્રિક્સને \(\bar{\boldsymbol{B}}\) અને સમાકલન બિંદુ \(\boldsymbol{r}\) પરનો સામાન્ય B મેટ્રિક્સને \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) માનીએ. નોડ \(\alpha\) ના DOF \(i\) માટે વિસ્થાપન-વિકૃતિ સંબંધમાં ઘનફળીય વિકૃતિ ઘટકો \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ને

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ઉમેરવામાં આવે છે, જ્યારે કાતર ઘટકો \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) માટે સામાન્ય \(\boldsymbol{B}\) વપરાય છે. આ રીતે મળેલી B-bar મેટ્રિક્સ વડે તત્ત્વ કઠોરતા અને આંતરિક-બળ સદિશ સંયોજિત કરવું થાય છે.

FrontISTR માં આ સૂત્રીકરણ ફક્ત 8-નોડ રેખીય ષટ્ફલક (તત્ત્વ ID 361, તત્ત્વ નંબરિંગ પ્રણાલી) માટે છે અને લઘુ વિરૂપતા, Total Lagrange તથા Updated Lagrange ત્રણેયમાં લાગુ પડે છે.

F-bar પદ્ધતિ

સીમિત વિરૂપતામાં ઘનફળ પરિવર્તન વિરૂપતા ઢાળ \(\boldsymbol{F}\) મારફતે અરેખીય રીતે અસર કરે છે, તેથી B-bar જેવી ઘનફળીય-લૉકિંગ સુધારો વિરૂપતા-ઢાળ સ્તરે કરવી એ F-bar પદ્ધતિ [deSouzaNeto1996] છે.

તત્ત્વ કેન્દ્ર \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) પર વિરૂપતા ઢાળનો ઘનફળ ગુણોત્તર \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) અને સમાકલન બિંદુ પર \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) લઈ સમાકલન-બિંદુ વિરૂપતા ઢાળને

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

થી બદલી શકાય છે. તેથી \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) થાય છે અને તત્ત્વ આખામાં ઘનફળ ગુણોત્તર તત્ત્વ-કેન્દ્ર મૂલ્ય જેટલો બને છે. તાણ મૂલ્યાંકન અને વિકૃતિ-વિસ્થાપન મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે બદલાયેલ \(\bar{\boldsymbol{F}}\) વપરાય છે અને તત્ત્વ કઠોરતામાં આ બદલીથી આવતા વધારાના પદો સહિત સ્પર્શક મેટ્રિક્સ સંયોજિત કરવું થાય છે.

FrontISTR F-bar પદ્ધતિ ફક્ત 8-નોડ રેખીય ષટ્ફલક માટે આપે છે અને લઘુ વિરૂપતા તથા Total Lagrange / Updated Lagrange બંને અરેખીય ભૂમિતિઓમાં લાગુ પડે છે.

અસંગત તત્ત્વ

8-નોડ રેખીય ષટ્ફલકીય તત્ત્વ પાસે વંકન મોડ માટે જરૂરી વિકૃતિ DOF પૂરતા નથી, તેથી વંકન-પ્રધાન સમસ્યામાં વંકન લૉકિંગ થાય છે. અસંગત તત્ત્વ [Taylor1976] આ ખામી દૂર કરવા તત્ત્વ અંદર વધારાના વિસ્થાપન મોડો રજૂ કરે છે.

તત્ત્વ નોડલ વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}^e\) ઉપરાંત દરેક તત્ત્વ માટે અંદર જ અસ્તિત્વ ધરાવતા અસંગત-મોડ DOF \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), 3 દિશાઓ × 3 મોડો તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે અને વિસ્થાપન ક્ષેત્રને

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

થી અનુમાનિત કરવામાં આવે છે. પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકો \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) માટે અસંગત આકાર વિધેયો \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) છે. આ તત્ત્વ સીમા પર સાતત્યની ખાતરી આપતા નથી, પરંતુ વંકન-મોડ વિકૃતિ પુનઃઉત્પન્ન કરતું વધારાનું અવકાશ તત્ત્વ અંદર ઉમેરે છે.

તત્ત્વ કઠોરતાને બાહ્ય/આંતરિક DOF બ્લોક વિભાજન

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

રૂપે સંયોજિત કરવું કર્યા પછી \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) વડે આંતરિક DOF દૂર કરવાની સ્થિર સંઘનન કરીને ફક્ત બાહ્ય DOF માટે

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

મળે છે અને તેને સમગ્ર સંયોજન તરફ મોકલાય છે.

FrontISTR અસંગત તત્ત્વ ફક્ત 8-નોડ રેખીય ષટ્ફલક (C3D8IC) માટે આપે છે અને લઘુ વિરૂપતા, Total Lagrange તથા Updated Lagrange ત્રણેયમાં લાગુ પડે છે.

U-P મિશ્ર તત્ત્વ

B-bar અને F-bar વિસ્થાપન-આધારિત માળખું અંદર ઘનફળીય ઘટક સુધારે છે; તેના વિરુદ્ધ u-p મિશ્ર (U-P) તત્ત્વ દબાણ \(\lambda\) ને વિસ્થાપનથી સ્વતંત્ર અજ્ઞાત ક્ષેત્ર તરીકે રજૂ કરતું મિશ્ર સૂત્રીકરણ [Bathe1996] છે. Poisson ગુણોત્તર 0.5 ને અત્યંત નજીક હોય તેવી રબર-સમાન સામગ્રી અથવા પ્લાસ્ટિક વિરૂપતા પછીના ધાતુ જેવી લગભગ અસંકોચ્ય સામગ્રીમાં વિસ્થાપન ક્ષેત્ર માત્રથી સ્થિરાંક-ઘનફળ નિયંત્રણ સંતોષતાં ઘનફળીય લૉકિંગ થાય છે; દબાણને સ્વતંત્ર ચલ રાખવાથી આ નિયંત્રણ હળવો થાય છે.

તાણને વિચલનાત્મક ઘટક અને દબાણમાં વહેંચીને

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

લખાય છે. અહીં \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) સ્થિતિસ્થાપક મેટ્રિક્સમાંથી ઘનફળીય મોડ્યુલસ \(K\) ને અનુરૂપ ઘનફળીય ભાગ દૂર કરેલો વિચલનાત્મક સ્થિતિસ્થાપક મેટ્રિક્સ છે. દબાણ \(\lambda\) અને ઘનફળીય વિકૃતિ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) સંકોચ્યતા \(\alpha^{-1} = 1/K\) મારફતે

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

નિયંત્રણથી જોડાય છે. વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}\) અને દબાણ \(\lambda\) અજ્ઞાત હોય તેવા વિવિક્તીકરણથી તત્ત્વ સિસ્ટમ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

મળે છે. \(\mathbf{K}_{uu}\) માં વિચલનાત્મક સ્થિતિસ્થાપક ઘટક અને સીમિત વિરૂપતા માટે ભૌમિતિક કઠોરતા, \(\mathbf{K}_{up}\) ઘનફળીય વિકૃતિ અને દબાણ જોડતું મેટ્રિક્સ અને \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) દબાણ સ્થિરીકરણ પદ છે (\(\boldsymbol{N}_p\) દબાણ આકાર વિધેય છે). દબાણ DOF તત્ત્વ અંદર જ બંધ હોવાથી

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

રૂપે સ્થિર સંઘનન કરીને બાહ્ય (વિસ્થાપન) DOF માટે અસરકારક કઠોરતા સમગ્ર સંયોજનને આપવામાં આવે છે.

FrontISTR U-P તત્ત્વ ફક્ત 8-નોડ રેખીય ષટ્ફલક માટે આપે છે અને દરેક તત્ત્વ માટે એક દબાણ DOF (તત્ત્વ અંદર સ્થિરાંક) રાખે છે. લઘુ વિરૂપતા, Total Lagrange અને Updated Lagrange ત્રણેયમાં લાગુ પડે છે. Updated Lagrange માં વિચલનાત્મક તાણને વસ્તુલક્ષી તાણ દર (Jaumann/Hughes-Winget પ્રકાર) વડે અપડેટ કર્યા પછી સ્થિર સંઘનનથી મળેલ દબાણ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ઉમેરાય છે.

શેલ તત્ત્વ

પાતળી પ્લેટ/શેલ રચના માટે Reissner-Mindlin પ્લેટ-શેલ સિદ્ધાંત આધારિત શેલ તત્ત્વો વપરાય છે. નિમ્ન-ક્રમ વિસ્થાપન-આધારિત શેલ તત્ત્વમાં જાડાઈ ઘટતાં અનુપ્રસ્થ કાતર વિકૃતિ કાતર લૉકિંગ નામની ઘનફળીય-લૉકિંગ જેવી કાર્યવિધિથી વધારે મૂલ્યાંકિત થાય છે અને વંકન-મોડ કઠોરતા અસંગત રીતે વધી જાય છે. MITC (ટેન્સરિયલ ઘટકોનું મિશ્ર અંતર્વેશન) પદ્ધતિ [Dvorkin1984] [Bathe1986] ફક્ત કાતર-વિકૃતિ ઘટકોને તત્ત્વના પૂર્વનિર્ધારિત ટાઇંગ બિંદુઓ પર ફરી નમૂના કરીને અને તે નમૂના મૂલ્યોને તત્ત્વ અંદર ફરી અંતર્વેશન કરીને આ સમસ્યા ટાળે છે.

MITC શેલ તત્ત્વના નોડો વક્ર સપાટીની મધ્યસપાટી પર હોય છે અને દરેક નોડને 3 સ્થાનાંતરણીય તથા મધ્યસપાટી લંબ આસપાસના 3 પરિભ્રમણીય ઘટકો મળીને 6 DOF હોય છે. તત્ત્વ કઠોરતા મધ્યસપાટી પ્રાકૃતિક નિર્દેશાંકો અને જાડાઈ દિશા મળીને કુલ 3-પરિમાણીય Gaussian સમાકલનથી મૂલ્યાંકિત થાય છે અને પ્લેટ જાડાઈ \(h\) સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમની ગણતરી વખતે તત્ત્વ ગુણધર્મ તરીકે મળે છે.

FrontISTR મધ્યસપાટીને એક સ્તર તરીકે લેતા MITC3 (તત્ત્વ ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) તથા જાડાઈ દિશામાં બે નોડ સ્તરો ધરાવતા સ્તરિત શેલ તત્ત્વો MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 નોડો, નોડ દીઠ 3 DOF) અને MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 નોડો, નોડ દીઠ 3 DOF) આપે છે. સ્તરિત શેલ તત્ત્વોમાં નોડ DOF ફક્ત 3 સ્થાનાંતરણીય ઘટકો છે અને પરિભ્રમણીય DOF ને અનુરૂપ વંકન મોડ બે સ્તરોથી દર્શાવવામાં આવે છે.

બીમ તત્ત્વ

ગર્ડર અને ફ્રેમ માળખાં જેવા રેખીય સભ્યોને બીમ તત્ત્વોથી વિવિક્ત કરવામાં આવે છે. બીમ તત્ત્વો અક્ષરેખા પરના નોડોના સ્થાનાંતરણ અને પરિભ્રમણથી જ લંબાણ, વંકન અને મરડને દર્શાવે છે, જ્યારે છેદની અંદરની વિરૂપતાને છેદ સ્થિરાંકો દ્વારા પ્રતિનિધિત્વ આપવામાં આવે છે.

દરેક બીમ નોડમાં છ સ્વતંત્રતા અંશ હોય છે: ત્રણ સ્થાનાંતરણ ઘટકો અને ત્રણ પરિભ્રમણ ઘટકો. તત્ત્વ કઠોરતા, તત્ત્વ અક્ષ અને છેદ ડેટામાં આપેલા સંદર્ભ અક્ષથી નિર્ધારિત સ્થાનિક નિર્દેશાંક પ્રણાલીમાં લંબાણ, બે દિશાના વંકન અને મરડ માટે બંધ-રૂપ કઠોરતા મેટ્રિક્સ બનાવી અને પછી તેને વૈશ્વિક નિર્દેશાંક પ્રણાલીમાં રૂપાંતરિત કરીને મળે છે. છેદ ક્ષેત્રફળ \(A\), સ્થાનિક \(y\) અને \(z\) અક્ષો વિશેના ક્ષેત્રફળના દ્વિતીય આઘૂર્ણો \(I_y\) અને \(I_z\), તથા મરડ સ્થિરાંક છેદ ડેટા તરીકે આપવામાં આવે છે; સામગ્રીના Young મોડ્યુલસ \(E\) અને Young મોડ્યુલસ તથા Poisson ગુણોત્તર પરથી મળતા કાતર મોડ્યુલસ \(G\) સાથે મળીને તેઓ સંબંધિત કઠોરતા ગુણાંકો નક્કી કરે છે.

વંકન માટે બે સૂત્રીકરણ ઉપલબ્ધ છે: Bernoulli-Euler બીમ, જેમાં વિરૂપતા પછી પણ છેદ બીમ અક્ષને લંબ રહે છે એમ માનવામાં આવે છે અને કાતર વિરૂપતા અવગણવામાં આવે છે, અને Timoshenko બીમ, જેમાં કાતર વિરૂપતા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. બે-નોડ બીમ તત્ત્વ 611 માટે બંને પસંદ કરી શકાય છે અને મૂળભૂત પસંદગી Bernoulli-Euler બીમ છે. Timoshenko બીમ માટે, તત્ત્વ લંબાઈ \(L\) હોય ત્યારે, કાતર વિરૂપતાના યોગદાન દર્શાવતા ગુણાંકો

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

સંબંધિત વંકન સમતલોના કઠોરતા ગુણાંકોમાં સામેલ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્થાનિક \(y\) દિશામાં વળાંક માટેનો કઠોરતા ગુણાંક \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\) છે. અહીં \(A_s\) કાતર ક્ષેત્રફળ છે. FrontISTR ના છેદ ડેટામાં \(A_s\) અલગથી આપવામાં આવતું નથી, તેથી \(A_s = A\) લેવાય છે. આ કાતર સુધારણા ગુણાંક 1 માનવા સમકક્ષ છે. \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) રાખવાથી Bernoulli-Euler બીમની કઠોરતા મળે છે.

641 મિશ્ર સ્વતંત્રતા અંશો માટેનું તત્ત્વ છે, જે સ્થાનાંતરણ સ્વતંત્રતા અંશ ધરાવતા બે નોડ અને પરિભ્રમણ સ્વતંત્રતા અંશ ધરાવતા બે નોડથી બીમ રજૂ કરે છે, અને તે Bernoulli-Euler બીમ તરીકે સૂત્રીકૃત છે.

સંબંધિત વિષયો