ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ¶

સંદર્ભ ગોઠવણી અને વર્તમાન ગોઠવણી¶

ગોઠવણીની વ્યાખ્યા¶

ભૌતિક રાશિઓને “કયા સમયની આકૃતિ” ને આધાર બનાવી વર્ણવવી તે અલગ પાડવા આ માર્ગદર્શિકામાં બે ગોઠવણીઓ વપરાય છે.

સંદર્ભ ગોઠવણી (reference configuration): વિશ્લેષણ શરૂ થાય ત્યારે (સમય \(0\)) વિરૂપતા પહેલાંની આકૃતિ; તેને પ્રારંભિક ગોઠવણી પણ કહે છે. આ ગોઠવણીમાં બિંદુને સામગ્રી નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{X}\) થી દર્શાવીએ, ઘનફળને \(V\) અને સપાટીને \(S\) લખીએ.
વર્તમાન ગોઠવણી (current configuration): સમય \(t\) પરની વિરૂપતા પછીની આકૃતિ. તેમાં બિંદુને અવકાશીય નિર્દેશાંક \(\boldsymbol{x}\) થી દર્શાવીએ, ઘનફળને \(v\) અને સપાટીને \(s\) લખીએ.

ગતિને બંને ગોઠવણીઓ વચ્ચે નકશાંકન \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) રૂપે અને વિસ્થાપનને \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

ગોઠવણી આધારિત સંકેતન (મોટા અક્ષરો/નાના અક્ષરો)¶

ભૌતિક રાશિ કઈ ગોઠવણીને સંબંધિત છે તે અક્ષરના અક્ષરરૂપ વડે અલગ પાડવામાં આવે છે.

સંદર્ભ ગોઠવણીની રાશિઓ મોટા અક્ષરો માં લખાય છે (ઉદાહરણ: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
વર્તમાન ગોઠવણીની રાશિઓ નાના અક્ષરો માં લખાય છે (ઉદાહરણ: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
પ્રથમ Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{P}\) જેવી બંને ગોઠવણીઓને જોડતી રાશિઓ માટે પરંપરાગત સંકેતન વપરાય છે અને જરૂરી સ્થળે સ્પષ્ટ કરાય છે.
નાની-વિરૂપતા સિદ્ધાંતમાં ગોઠવણીઓનો ભેદ ગાયબ થાય છે, તેથી ફક્ત નાના અક્ષરો સંકેતન (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) વપરાય છે.

સંદર્ભ અને વર્તમાન ગોઠવણી ઢાળ¶

અવકાશીય અવકલન કઈ ગોઠવણી અંગે લેવાય છે તેના આધારે સંકેતન અને અર્થ જુદા થાય છે.

સંદર્ભ-ગોઠવણી ઢાળ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): સામગ્રી નિર્દેશાંક અંગે ઢાળ. ઉદાહરણ: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
વર્તમાન-ગોઠવણી ઢાળ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): અવકાશીય નિર્દેશાંક અંગે ઢાળ. ઉદાહરણ: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

બંને વચ્ચે \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) સંબંધ છે. સમય અવકલજના પરંપરા (સામગ્રી સમય અવકલજ \(\dot{(\cdot)}\)) માટે ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર જુઓ.

ગતિનું વર્ણન¶

ગતિ નકશાંકન અને સામગ્રી/અવકાશીય વર્ણન¶

સાતત્યકને સમય \(0\) પરના સ્થાન \(\boldsymbol{X}\) ને લેબલ તરીકે ધરાવતા સામગ્રી બિંદુઓના સમૂહ તરીકે જોીએ તો ગતિ, સામગ્રી બિંદુ \(\boldsymbol{X}\) ને તે સમય \(t\) પરના સ્થાન \(\boldsymbol{x}\) સાથે સાંકળતી નકશાંકન \(\phi\) વડે

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

રૂપે દર્શાવી શકાય છે. સંદર્ભ ગોઠવણીને પ્રારંભિક ગોઠવણી માનીએ ત્યારે \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) છે.

સ્વતંત્ર ચલોની પસંદગી મુજબ બે વર્ણનો છે.

સામગ્રી વર્ણન (Lagrange વર્ણન): ભૌતિક રાશિને \((\boldsymbol{X}, t)\) ના વિધેય તરીકે દર્શાવે છે. ઘન યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં સંદર્ભ ગોઠવણી સ્થિર ભૂમિતિ હોવાથી સ્વાભાવિક પસંદગી છે.
અવકાશીય વર્ણન (Euler વર્ણન): ભૌતિક રાશિને \((\boldsymbol{x}, t)\) ના વિધેય તરીકે દર્શાવે છે. દ્રવ યાંત્રિકશાસ્ત્રમાં સામાન્ય છે.

FrontISTR માળખાકીય વિશ્લેષણ મૂળભૂત રીતે સામગ્રી વર્ણન પર આધારિત છે, પરંતુ Updated Lagrange પદ્ધતિ વર્તમાન ગોઠવણીને નવી સંદર્ભ ગોઠવણી તરીકે લેતી હોવાથી અવકાશીય-વર્ણન રાશિઓ પણ વપરાય છે.

વિસ્થાપન, વેગ અને પ્રવેગ¶

વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}\) ને ઉપર મુજબ \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તેના પરિમાણ અંગે કોઈ લઘુપણું ધારણા રાખવામાં આવતી નથી, તેથી સીમિત વિરૂપતા પણ આવરી લેવાય છે. વેગ અને પ્રવેગ સામગ્રી બિંદુને સ્થિર રાખીને \(\boldsymbol{u}\) ના સામગ્રી સમય અવકલજો છે:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

વિરૂપતા ઢાળ અને વિરૂપતા ટેન્સરો¶

વિરૂપતા-ઢાળ ટેન્સર¶

સીમિત-વિરૂપતા સાતત્યક યાંત્રિકશાસ્ત્રની મૂળભૂત રાશિ વિરૂપતા-ઢાળ ટેન્સર \(\boldsymbol{F}\) છે. તે સંદર્ભ ગોઠવણીના અતિસૂક્ષ્મ રેખા તત્ત્વ \(d\boldsymbol{X}\) ને વર્તમાન ગોઠવણીના \(d\boldsymbol{x}\) માં નકશાંકિત કરતું રેખીય નકશાંકન છે અને ગતિ નકશાંકનનો સામગ્રી-નિર્દેશાંક ઢાળ તરીકે

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

થી વ્યાખ્યાયિત થાય છે (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). અવિરૂપિત સ્થિતિમાં \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) છે. \(\boldsymbol{F}\) વિકૃતિ અને તાણની વ્યાખ્યા અને ગોઠવણીઓ વચ્ચે ભૌતિક રાશિઓના રૂપાંતરણમાં વ્યાપક વપરાય છે.

ઘનફળ-પરિવર્તન ગુણોત્તર¶

સંદર્ભ ગોઠવણીના અતિસૂક્ષ્મ ઘનફળ \(dV\) અને વર્તમાન ગોઠવણીના \(dv\) નો ગુણોત્તર ઘનફળ-પરિવર્તન ગુણોત્તર \(J\) છે:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

સાતત્યક પ્રતિવર્તનીયતા માટે \(J > 0\) માનવામાં આવે છે. દ્રવ્યમાન સંરક્ષણ \(\rho_0 = J\rho\) રૂપે લખાય છે.

જમણા અને ડાબા Cauchy-Green વિરૂપતા ટેન્સરો¶

વિરૂપતા ઢાળ \(\boldsymbol{F}\) દૃઢ પરિભ્રમણ પણ ધરાવે છે, તેથી વિરૂપતા પોતે માપવા દૃઢ પરિભ્રમણ દૂર કરેલી રાશિઓ વપરાય છે. જમણો Cauchy-Green વિરૂપતા ટેન્સર \(\boldsymbol{C}\) (સંદર્ભ ગોઠવણી) અને ડાબો Cauchy-Green વિરૂપતા ટેન્સર \(\boldsymbol{b}\) (વર્તમાન ગોઠવણી) ને

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

થી વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. બંને સમમિત ટેન્સરો છે અને સમાન સ્વમૂલ્યો (મુખ્ય વિસ્તરણ ગુણોત્તરોના વર્ગો) ધરાવે છે. અતિસ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ-ઊર્જા વિધેયના મુખ્ય અપરિવર્તકો આ ટેન્સરો પરથી બને છે.

વિકૃતિ ટેન્સરો¶

Green-Lagrange વિકૃતિ ટેન્સર¶

સંદર્ભ-ગોઠવણી વિકૃતિ માપ તરીકે Green-Lagrange વિકૃતિ ટેન્સર \(\boldsymbol{E}\) ને

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

થી વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે સંદર્ભ ગોઠવણીમાં અતિસૂક્ષ્મ સદિશોના આંતરિક ગુણાકારનો ફેરફાર દર્શાવતું સમમિત ટેન્સર છે, દૃઢ પરિભ્રમણ માટે અપરિવર્તક છે અને અવિરૂપિત સ્થિતિમાં \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) થાય છે. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) નો ઉપયોગ કરતાં

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

મળે છે, એટલે વિસ્થાપન ઢાળના પ્રથમ- અને દ્વિતીય-ક્રમ પદોનો સરવાળો; દ્વિતીય-ક્રમ પદ ભૌમિતિક અરેખીયતા દર્શાવે છે. Total Lagrange પદ્ધતિમાં તાણ-સંયુગ્મ જોડી \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) તરીકે વપરાય છે.

Almansi વિકૃતિ ટેન્સર¶

વર્તમાન-ગોઠવણી વિકૃતિ માપ તરીકે Almansi વિકૃતિ ટેન્સર \(\boldsymbol{e}\) ને

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

થી વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. Green-Lagrange વિકૃતિ સાથે તે \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (પુલ-બૅક) દ્વારા જોડાય છે.

લઘુ વિકૃતિ ટેન્સર¶

વિસ્થાપન ઢાળ નાનું હોય (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange વિકૃતિનો દ્વિતીય-ક્રમ પદ અવગણાય છે અને બંને ગોઠવણીઓનો ભેદ ગાયબ થવાથી અવકાશીય-નિર્દેશાંક ઢાળ વડે લખાયેલ અતિસૂક્ષ્મ વિકૃતિ ટેન્સર \(\boldsymbol{\varepsilon}\) મળે છે:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ના રેખીય સ્થિર, મોડલ, આવર્તન-પ્રતિસાદ અને રેખીય ગતિશીલ વિશ્લેષણો આ વિકૃતિ માપ વાપરે છે. સીમિત-વિરૂપતા વિશ્લેષણમાં Total Lagrange પદ્ધતિ \(\boldsymbol{E}\) અને Updated Lagrange પદ્ધતિ વર્તમાન-ગોઠવણી વિરૂપતા-દર ટેન્સર \(\boldsymbol{D}\) વાપરે છે.