તાણ અને સંરક્ષણના નિયમો¶
આ અધ્યાયમાં તાણ ટેન્સરોની વ્યાખ્યા અને પરસ્પર સંબંધો તથા દ્રવ્યમાન, રેખીય સંવેગ અને કોણીય સંવેગના સંરક્ષણના નિયમોથી પ્રાપ્ત થતી સંતુલન સમીકરણો અને તાણની સમમિતિનું સંકલન કરવામાં આવે છે. ત્રણ પ્રકારના તાણ ટેન્સર—Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\), પ્રથમ Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{P}\) અને દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\)—સંદર્ભ સપાટી અને બળ સદિશ માટે કઈ ગોઠવણી અપનાવવામાં આવે છે તેના ભેદથી વ્યાખ્યાયિત થાય છે. ગોઠવણી, ગતિ અને વિરૂપતા ઢાળની વ્યાખ્યાઓ માટે ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ અને પ્રતીકોની યાદી માટે ભૌતિક રાશિઓના પ્રતીકોની યાદી જુઓ.
Cauchy તાણ ટેન્સર¶
વર્તમાન ગોઠવણીમાં બિંદુ \(\boldsymbol{x}\) પરની અતિસૂક્ષ્મ સપાટી (વિસ્તાર \(d\Gamma\), બહારની દિશાનો એકમ લંબ સદિશ \(\boldsymbol{n}\)) પર લાગતું બળ \(d\boldsymbol{f}\) માનીને, તાણ સદિશ \(\boldsymbol{t}\) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. \(\boldsymbol{t}\) સ્થાન \(\boldsymbol{x}\) અને લંબ સદિશ \(\boldsymbol{n}\) બંને પર આધારિત છે. અતિસૂક્ષ્મ ચતુષ્ફલક પર સંવેગ સંરક્ષણ લાગુ કરતાં \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) અંગે રેખીય બને છે અને દ્વિતીય ક્રમનો ટેન્સર \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી
કોઈપણ \(\boldsymbol{n}\) માટેમાન્ય રહે છે (Cauchy તાણ સિદ્ધાંત). આ ટેન્સર \(\boldsymbol{\sigma}\) ને Cauchy તાણ ટેન્સર કહેવામાં આવે છે અને વર્તમાન ગોઠવણીની ભૂમિતિના આધારે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ દર્શાવતું હોવાથી તેને વાસ્તવિક તાણ પણ કહે છે. ઘટક \(\sigma_{ij}\) વર્તમાન ગોઠવણીમાં \(x_j\) અક્ષને લંબ અતિસૂક્ષ્મ સપાટી પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળનો \(x_i\) ઘટક દર્શાવે છે.
આગળ વર્ણવેલા કોણીય સંવેગ સંરક્ષણના નિયમથી Cauchy તાણ સમમિત ટેન્સર
છે અને 3 પરિમાણમાં તેના 6 સ્વતંત્ર ઘટકો (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) હોય છે. Voigt નિર્દેશનમાં તાણને સદિશરૂપે લખવું આ સમમિતિ પર આધારિત છે (ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર જુઓ). Cauchy તાણ FrontISTR ની Updated Lagrange પદ્ધતિમાં ભૂમિતીય અરેખીય વિશ્લેષણ અને લઘુ વિરૂપતા વિશ્લેષણના તાણ આઉટપુટ માટે વપરાય છે.
પ્રથમ અને દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ¶
સીમિત વિરૂપતામાં ઘણી વાર તાણને સંદર્ભ ગોઠવણીની સપાટી અને સદિશના આધારે દર્શાવવું અનુકૂળ હોય છે, તેથી બે પ્રકારના Piola-Kirchhoff તાણ ટેન્સર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સંદર્ભ ગોઠવણીની અતિસૂક્ષ્મ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \(d\Gamma_0\) અને બહારની દિશાનો એકમ લંબ સદિશ \(\boldsymbol{N}\) માનીએ.
પ્રથમ Piola-Kirchhoff તાણ (પ્રથમ PK તાણ, નામમાત્ર તાણ) \(\boldsymbol{P}\) ને વર્તમાન ગોઠવણીના બળ \(d\boldsymbol{f}\) ને સંદર્ભ ગોઠવણીની અતિસૂક્ષ્મ સપાટી પર લગાડવામાં આવેલ તાણ ટેન્સર તરીકે
થી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. Nanson સૂત્ર \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) અને Cauchy તાણ સિદ્ધાંતથી Cauchy તાણ સાથેનો સંબંધ
મળે છે. પ્રથમ PK તાણ સામાન્ય રીતે અસમમિત ટેન્સર છે.
દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ (દ્વિતીય PK તાણ) \(\boldsymbol{S}\) ને વર્તમાન ગોઠવણીના બળ \(d\boldsymbol{f}\) ને \(\boldsymbol{F}^{-1}\) વડે સંદર્ભ ગોઠવણીમાં પાછું ખેંચીને, પછી તેને સંદર્ભ ગોઠવણીની અતિસૂક્ષ્મ સપાટી પર લગાડવામાં આવેલ તાણ ટેન્સર તરીકે
થી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બળ સદિશ અને તેની ક્રિયાસપાટી બંને સંદર્ભ ગોઠવણીની રાશિઓથી દર્શાવવામાં આવે છે; આ ટેન્સર કઠોર ઘૂરણ સામે અપરિવર્તિત અને સમમિત છે. પ્રથમ PK તાણ સાથેનો સંબંધ અને Cauchy તાણમાં રૂપાંતરણ
છે. દ્વિતીય PK તાણને અતિસ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ-ઊર્જા વિધેય \(W(\boldsymbol{C})\)માંથી \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) તરીકે મેળવવામાં આવે છે અને Total Lagrange પદ્ધતિમાં Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) સાથે તાણ-સંયુગ્મ જોડી \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) તરીકે વપરાય છે.
સંદર્ભ ગોઠવણી અને સમમિતિ નીચેના કોષ્ટક મુજબ છે. લઘુ વિરૂપતાની સીમામાં (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) ત્રણેય તાણ સમાન થાય છે.
| તાણ ટેન્સર | સંદર્ભ સપાટી | બળ સદિશ | સમમિતિ | ઉપયોગ |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) | વર્તમાન ગોઠવણી \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | વર્તમાન ગોઠવણી \(d\boldsymbol{f}\) | સમમિત | Updated Lagrange પદ્ધતિ / લઘુ વિરૂપતા વિશ્લેષણ |
| પ્રથમ PK તાણ \(\boldsymbol{P}\) | સંદર્ભ ગોઠવણી \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | વર્તમાન ગોઠવણી \(d\boldsymbol{f}\) | સામાન્ય રીતે અસમમિત | સંદર્ભ ગોઠવણીનું સંતુલન સમીકરણ |
| દ્વિતીય PK તાણ \(\boldsymbol{S}\) | સંદર્ભ ગોઠવણી \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | સંદર્ભ ગોઠવણી \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | સમમિત | Total Lagrange પદ્ધતિ / અતિસ્થિતિસ્થાપકતા |
દ્રવ્યમાન અને સંવેગ સંરક્ષણ તથા સંતુલન સમીકરણ¶
વર્તમાન ગોઠવણીમાં દ્રવ્યમાન ઘનતા \(\rho\) અને સંદર્ભ ગોઠવણીમાં દ્રવ્યમાન ઘનતા \(\rho_0\) માનીએ. દ્રવ્યમાન સંરક્ષણનો નિયમ \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), ઘનફળ તત્ત્વના રૂપાંતરણ \(dv = J\, dV\) થી સ્થાનિક સ્વરૂપ
માં આવે છે.
એકમ દ્રવ્યમાન દીઠ પિંડબળને \(\boldsymbol{g}\) અને પ્રવેગને \(\boldsymbol{a}\) માની, સંવેગ સંરક્ષણના નિયમ (Euler નો પ્રથમ ગતિનિયમ) પર Cauchy તાણ સિદ્ધાંત અને Gauss અપસરણ પ્રમેય લાગુ કરતાં વર્તમાન ગોઠવણીમાં સ્થાનિક સંતુલન સમીકરણ (ગતિ સમીકરણ)
મળે છે. Nanson સૂત્ર અને \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) વડે તેને સંદર્ભ ગોઠવણીના સમાકલમાં લખતાં સ્થાનિક સ્વરૂપ
મળે છે. બંને સ્વરૂપો તાણ રૂપાંતરણના નિયમ અને \(\rho_0 = J\rho\) દ્વારા સમકક્ષ છે. જડત્વીય પદ અવગણતાં
સ્થિર સંતુલન સમીકરણ મળે છે, જે FrontISTR ના સ્થિર વિશ્લેષણ (રેખીય અને અરેખીય) માટેનું પ્રારંભિક સમીકરણ છે.
કોણીય સંવેગ સંરક્ષણ અને તાણની સમમિતિ¶
કોણીય સંવેગ સંરક્ષણના નિયમ (Euler નો દ્વિતીય ગતિનિયમ) ને સંવેગ સંરક્ષણમાંથી મળેલા સંતુલન સમીકરણ સાથે જોડતાં Cauchy તાણ ટેન્સરની સમમિતિ
મળે છે અને 3 પરિમાણમાં તે 6 સ્વતંત્ર ઘટકો ધરાવે છે. રૂપાંતરણ \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ના બંને પક્ષનું ટ્રાન્સપોઝ લઈને અને \(\boldsymbol{F}\) ની નિયમિતતાથી દ્વિતીય PK તાણ પણ સમમિત
છે અને તેના પણ 6 સ્વતંત્ર ઘટકો છે. બીજી તરફ, પ્રથમ PK તાણ \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) સામાન્ય રીતે સમમિત નથી; માત્ર સંબંધ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (અર્થાત્ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) સમમિત છે)માન્ય રહે છે અને સ્વતંત્ર ઘટકોની સંખ્યા 9 છે.
આ સમમિતિઓ Voigt નિર્દેશનમાં તાણને 6 ઘટકોના સદિશરૂપે દર્શાવવાની પૂર્વશરત છે. Voigt નિર્દેશનના નિયમો અને સામગ્રી મેટ્રિક્સની રચના માટે ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર તથા રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા જુઓ.