Skip to content

આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત

તાણ અને સંરક્ષણ નિયમો માં મેળવેલા સમતુલા સમીકરણ અને સીમા શરતો પરથી સાતત્ય-માધ્યમ-યાંત્રિકી સીમા-મૂલ્ય સમસ્યાનું નબળું સ્વરૂપ એવા આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત ને ઉત્પન્ન કરીએ છીએ. સીમિત તત્ત્વ પદ્ધતિનું વિવિક્તીકરણ આ નબળું સ્વરૂપ પરથી શરૂ થાય છે. આ અધ્યાય વર્તમાન ગોઠવણી (Cauchy તાણ અને Almansi વિકૃતિના રેખીય ભાગ વડે પ્રતિનિધિત્વ) તથા સંદર્ભ ગોઠવણી (દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ અને Green-Lagrange વિકૃતિ વડે પ્રતિનિધિત્વ) બન્ને સ્વરૂપો રજૂ કરે છે, તેમની સમકક્ષતા બતાવે છે અને પછી નાની-વિરૂપતા મર્યાદા ચકાસે છે.

સમતુલા સમીકરણ અને સીમા શરતો

સાતત્ય-માધ્યમ પર લાગતું પદાર્થ બળ પ્રતિ એકમ દ્રવ્યમાન \(\boldsymbol{g}\) હોય અને વર્તમાન ગોઠવણીમાં ક્ષેત્ર \(\Omega\) ધરાવતું પદાર્થ વિચારીએ. સીમા \(\Gamma\) ને વિસ્થાપન \(\bar{\boldsymbol{u}}\) નિર્ધારિત હોય તે ભૂમિતીય સીમા \(\Gamma_B\) અને પૃષ્ઠબળ \(\bar{\boldsymbol{t}}\) નિર્ધારિત હોય તે યાંત્રિક સીમા \(\Gamma_t\) માં વહેંચીએ, જ્યાં \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) અને \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). સ્થિર સમસ્યા માટે તાણ અને સંરક્ષણ નિયમો માંના સંવેગ-સંરક્ષણ સમીકરણમાંથી જડતા પદ દૂર કરીને

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

સમતુલા સમીકરણ મળે છે. સીમા શરતો

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

છે. આગળ આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંતને સમતુલા સમીકરણ અને યાંત્રિક સીમા શરત \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ના નબળું સ્વરૂપ તરીકે ઉત્પન્ન કરીએ છીએ. ભૂમિતીય સીમા શરત \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) પરીક્ષણ-ફંક્શનની પસંદગીમાં સામેલ થાય છે.

વર્તમાન-ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વનું નબળું સ્વરૂપ

નબળું સ્વરૂપમાં અજ્ઞાત વિસ્થાપન માટે સ્વીકાર્ય અવકાશ અને પરીક્ષણ-ફંક્શન અવકાશ અનુક્રમે

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

રાખીએ. અહીં \(d\) અવકાશ પરિમાણ છે, \(H^1(\Omega)\) પ્રથમ નબળું અવકલન સુધી વર્ગ-સમાકલનીય Sobolev અવકાશ છે અને \(\delta\) વેરિએશન પ્રતીક છે. વર્તમાન-ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વમાં \(\Omega\) વિકૃત ગોઠવણી છે; વાસ્તવિક સંખ્યાત્મક ઉકેલમાં તેને સંદર્ભ ગોઠવણી અથવા જાણીતી મધ્યવર્તી ગોઠવણી પર પાછું રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.

સમતુલા સમીકરણને વજન \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) થી ગુણો અને Gauss નો અપસરણ પ્રમેય તથા યાંત્રિક સીમા શરત લાગુ કરો; ત્યારે વર્તમાન ગોઠવણીમાં આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

બને છે. અહીં \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi વિકૃતિ ટેન્સરનો રેખીય ભાગ છે અને

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

થી વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેનું વેરિએશન \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) છે. એટલે \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) એવું શોધવું છે કે દરેક \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) માટે આભાસી-કાર્ય સમીકરણ સંતોષાય. ડાબી બાજુ આંતરિક-બળ આભાસી કાર્ય અને જમણી બાજુ નિર્ધારિત પૃષ્ઠબળ તથા પદાર્થ બળનું બાહ્ય આભાસી કાર્ય છે.

આ સમીકરણ વિકૃત/વર્તમાન ક્ષેત્રમાં લખાયેલું હોવાથી વાસ્તવિક ઉકેલમાં પ્રારંભિક ગોઠવણી \(\Omega_0\) (સંદર્ભ ગોઠવણી) અથવા જાણીતી મધ્યવર્તી ગોઠવણીને સંદર્ભ તરીકે પસંદ કરીને વૃદ્ધિ-આધારિત સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. સંદર્ભ-ગોઠવણીની પસંદગી (કુલ Lagrange / અપડેટેડ Lagrange) અને વૃદ્ધિ-આધારિત વિઘટન માટે વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણનું માળખું જુઓ.

પ્રારંભિક-ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વનું નબળું સ્વરૂપ

સંદર્ભ ગોઠવણીમાં ક્ષેત્ર \(\Omega_0\) ધરાવતું પદાર્થ વિચારીએ અને સીમા \(\Gamma_0\) ને \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) માં વહેંચીએ. વર્તમાન-ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વને સંદર્ભ ગોઠવણી પર પાછું રૂપાંતરિત કરતાં તાણ-વિકૃતિ સંયુગ્મ જોડી દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) બને છે. ત્યારે પ્રારંભિક ગોઠવણીમાં આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

રૂપે લખી શકાય છે. અહીં \(\rho_0\) સંદર્ભ-ગોઠવણી દ્રવ્યમાન ઘનતા છે અને દ્રવ્યમાન સંરક્ષણ \(\rho_0 = J\rho\) થી વર્તમાન-ગોઠવણી પદાર્થ-બળ પ્રતિનિધિત્વ સાથે સમકક્ષ છે.

વર્તમાન અને પ્રારંભિક ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વોની સમકક્ષતા

બન્ને પ્રતિનિધિત્વોમાં આંતરિક-બળ આભાસી કાર્ય વિરૂપતા ઢાળ \(\boldsymbol{F}\) અને ઘનફળ ગુણોત્તર \(J = \det \boldsymbol{F}\) ના રૂપાંતરણ દ્વારા સમાન થાય છે:

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

બાહ્ય-બળ પદો પણ દ્રવ્યમાન સંરક્ષણ અને પૃષ્ઠબળ રૂપાંતરણથી સમકક્ષ છે. તેથી વર્તમાન અને પ્રારંભિક ગોઠવણીના આભાસી-કાર્ય સમીકરણો એક જ સિદ્ધાંતને જુદી ગોઠવણીમાં દર્શાવે છે. સંદર્ભ ગોઠવણી આધારિત ઉકેલ કુલ Lagrange પદ્ધતિને અને વર્તમાન ગોઠવણી (પાછલી અભિસરિત ગોઠવણી) આધારિત ઉકેલ અપડેટેડ Lagrange પદ્ધતિને અનુરૂપ છે.

નાની-વિરૂપતા મર્યાદા

નાની-વિરૂપતા ધારણાઓ \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) અને \(J \approx 1\) હેઠળ વર્તમાન અને સંદર્ભ ગોઠવણીઓ વચ્ચેનો ભેદ અદૃશ્ય થાય છે, દ્વિતીય PK તાણ Cauchy તાણ તરફ જાય છે (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), અને Green-Lagrange વિકૃતિ તથા Almansi વિકૃતિનો રેખીય ભાગ બન્ને સૂક્ષ્મ વિકૃતિ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) તરફ જાય છે.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ત્યારે આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) અને સૂક્ષ્મ વિકૃતિ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) વડે નબળું સ્વરૂપ

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

માં ઘટે છે. આ નાની-વિરૂપતા રેખીય-સ્થિતિસ્થાપક સ્થિર વિશ્લેષણમાં વિવિક્તીકરણ માટે સીધું વપરાતું નબળું સ્વરૂપ છે (રેખીય સ્થિતિસ્થાપક સ્થિર વિશ્લેષણ (પરિચય/પરિશિષ્ટ) આ સ્વરૂપ પરથી તત્ત્વ કઠોરતા \(\boldsymbol{K}^e\) અને વૈશ્વિક સમીકરણ \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) સુધી પહોંચે છે).

રેખીય-સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) સ્થાનાપન્ન કરીને અને Voigt સંકેતન માં \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) લખતાં નબળું સ્વરૂપ

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

રૂપ લે છે.

સંબંધિત વિષયો