Skip to content

વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણનું માળખું

વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણની જરૂરિયાત

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, નાની વિરૂપતાની સમસ્યાના વિશ્લેષણમાં સમતુલા સમીકરણ જેવી મૂળભૂત સમીકરણોને સમકક્ષ આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને અને તેને સીમિત તત્ત્વોથી વિવિક્તીકૃત કરીને સીમિત તત્ત્વ વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. મોટા સંરચનાત્મક વિરૂપતા વાળી સીમિત-વિરૂપતા સમસ્યામાં પણ મૂળભૂત રીતે આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત જ વપરાય છે.

પરંતુ સીમિત-વિરૂપતા સમસ્યામાં સામગ્રીને રેખીય માન્ય રાખવામાં આવે તોપણ આભાસી-કાર્ય સમીકરણ વિસ્થાપન સંબંધે અરેખીય બને છે. અરેખીય સમીકરણ ઉકેલવા સામાન્ય રીતે પુનરાવર્તક ગણતરી વપરાય છે.

આ પુનરાવર્તિત ગણતરી નાના ભાર વૃદ્ધિ માટે ખંડવાર કરવામાં આવે છે અને આવા વૃદ્ધિઓ ઉમેરતા અંતિમ વિરૂપતા સ્થિતિ સુધી પહોંચવાની વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણ પદ્ધતિ વપરાય છે. નાની વિરૂપતા માન્ય હોય ત્યારે વિકૃતિ અને તાણ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે વિરૂપતા પહેલાં અને પછીની ગોઠવણી ખાસ અલગ ગણાતી નહોતી. અર્થાત્, નાની વિરૂપતા માન્ય હોય તો નિયામક સમીકરણો વિરૂપતા પહેલાંની ગોઠવણીમાં લખાય કે પછીનીમાં, કોઈ સમસ્યા થતી નથી.

સીમિત-વિરૂપતા સમસ્યામાં વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણ કરતી વખતે સંદર્ભ ગોઠવણી તરીકે પ્રારંભિક ગોઠવણી લેવાય કે વૃદ્ધિની શરૂઆતની ગોઠવણી લેવાય તેના આધારે સૂત્રીકરણ બદલાય છે. પહેલી પદ્ધતિને કુલ Lagrange પદ્ધતિ અને બીજીને અપડેટેડ Lagrange પદ્ધતિ કહેવાય છે. વિગતો માટે અધ્યાયના અંતે આપેલા સંદર્ભો વગેરે જુઓ.

પ્રારંભિક સમીકરણ: સમય \(t'\) પર આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત

સમય \(t\) સુધીની સ્થિતિ જાણીતી અને સમય \(t' = t + \Delta t\) ની સ્થિતિ અજાણી હોય તેવું વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણ માનીએ (આકૃતિ 2.2.1 જુઓ). સમય \(t'\) પરના સમતુલા સમીકરણ, સીમા શરતો અને આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત (વર્તમાન-ગોઠવણી પ્રતિનિધિત્વ, Cauchy તાણ \(^{t'}\sigma\) અને Almansi વિકૃતિના રેખીય ભાગ \(^{t'} A_{(L)}\) વડે) આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત માં આપ્યા મુજબ છે.

વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણની કલ્પના

આકૃતિ 2.2.1 વૃદ્ધિશીલ વિશ્લેષણની કલ્પના

પરંતુ આ પ્રારંભિક સમીકરણ સમય \(t'\) ની અજાણી ગોઠવણીમાં લખાયેલું હોવાથી, વાસ્તવિક ઉકેલ પદ્ધતિમાં સમય \(0\) ની પ્રારંભિક ગોઠવણી \(V\) અથવા સમય \(t\) ની વર્તમાન ગોઠવણી \(^{t'} v\) ને સંદર્ભ ગોઠવણી તરીકે ફરી પસંદ કરીને તેને વૃદ્ધિ-આધારિત સ્વરૂપમાં લખ્યા પછી ઉકેલવામાં આવે છે:

  • કુલ Lagrange પદ્ધતિ — પ્રારંભિક ગોઠવણી \(V\) નો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરે છે. બીજા PK તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\) વાપરે છે.
  • અપડેટેડ Lagrange પદ્ધતિ — વૃદ્ધિ શરૂ થાય તે સમયની વર્તમાન ગોઠવણી \(^{t}v\) નો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરે છે. Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) અને Almansi વિકૃતિનો રેખીય ભાગ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) વાપરે છે.

બન્નેના અવકાશીય વિવિક્તીકરણ (B મેટ્રિક્સ અને આંતરિક-બળ સદિશ) માટે આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ અને રેખીયકરણ તથા સ્પર્શીય કઠોરતાની રચના માટે સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ જુઓ.

સંબંધિત વિષયો