ઉષ્મા વહન સમીકરણ¶

આ અધ્યાયમાં FrontISTR માટે ઉષ્મા વહનના શાસક સમીકરણો (સાતત્ય સ્તર પર) અને સીમા શરતો ગોઠવવામાં આવે છે. સમય વિવિક્તીકરણ અને FEM વિવિક્તીકરણ માટે વિવિક્તીકરણ (L3d) અને ઉકેલ અલ્ગોરિધમ (L3e: solution_methods/05_transient_heat) જુઓ.

શાસક સમીકરણ¶

સાતત્ય માધ્યમમાં ઉષ્મા વહન સમીકરણ નીચે મુજબ છે.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

અહીં \(\rho=\rho(x)\) દ્રવ્યમાન ઘનતા, \(c=c(x,T)\) વિશિષ્ટ ઉષ્મા, \(T=T(x,t)\) તાપમાન, \(k=k(x,T)\) ઉષ્મા વાહકતા, \(Q=Q(x,T,t)\) ઉષ્મા ઉત્પન્ન દર, \(x\) સ્થાન અને \(t\) સમય દર્શાવે છે. \(k_x, k_y, k_z\) દિશાનિર્ભર ઉષ્મા વહનમાં દરેક દિશાની ઉષ્મા વાહકતા છે.

ચોક્કસ ઉષ્મીય ગુણધર્મો (તાપમાન નિર્ભરતા અને દિશાનિર્ભરતા) માટે ઉષ્મીય ગુણધર્મો જુઓ.

સીમા શરતો¶

વિચારાધીન ક્ષેત્રને \(S\) અને તેની સીમાને \(\Gamma\) માનીએ. \(\Gamma\) પર દરેક બિંદુએ Dirichlet અથવા Neumann પ્રકારની સીમા શરત આપવામાં આવે છે એમ માનીએ તો સીમા શરતો નીચે મુજબ છે.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

અહીં \(T_1\) અને \(q\) જાણીતા કાર્યાત્મક સ્વરૂપ ધરાવે છે. \(q\) સીમાથી બહાર જતો ઉષ્મા ફ્લક્સ છે. સીમાથી મળતો ઉષ્મા ફ્લક્સ \(q\) નીચેના ત્રણ ઘટકોથી બને છે.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

અહીં \(q_s\) વિતરિત ઉષ્મા ફ્લક્સ, \(q_c\) સંવહન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણથી થતો ઉષ્મા ફ્લક્સ અને \(q_r\) વિકિરણ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણથી થતો ઉષ્મા ફ્લક્સ છે.

અહીં \(Tc=Tc(x,t)\) સંવહન માટેનું પરિવેશ તાપમાન, \(hc=hc(x,t)\) સંવહન ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક, \(Tr=Tr(x,t)\) વિકિરણ માટેનું પરિવેશ તાપમાન, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) વિકિરણ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક, \(\varepsilon\) ઉત્સર્જકતા, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann અચળાંક અને \(F\) દૃશ્ય ગુણાંક છે.

ઇનપુટ ફાઇલમાં નિર્દેશ પદ્ધતિ માટે કાર્ય વિભાગ સીમા શરતો અને ભાર જુઓ.

નબળું સ્વરૂપ¶

માળખાકીય વિશ્લેષણ સાથેની યુગ્મિત સીમા¶

સંબંધિત વિષયો¶

અસ્થાયી ઉષ્મા વહન — સમય વિવિક્તીકરણ અને અરેખીય પુનરાવર્તન
ઉષ્મીય ગુણધર્મો — ગુણધર્મ ડેટાનું સૂત્રીકરણ અને તાપમાન નિર્ભરતા
આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ — FEM વિવિક્તીકરણનું માળખું
કાર્ય સંદર્ભ સીમા શરતો અને ભાર — ઉષ્મા વહન વિશ્લેષણ માટે સીમા શરતોનો ઇનપુટ