ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર¶

આ અધ્યાય FrontISTR સિદ્ધાંત માર્ગદર્શિકાના આગળના અધ્યાયોમાં વપરાતા ટેન્સર સંકેતન, ઇન્ડેક્સ સંકેતન અને Voigt સંકેતનની પરંપરાઓ એકત્ર કરે છે. અહીં ભૌતિક રાશિની વ્યાખ્યાથી સ્વતંત્ર શુદ્ધ સંકેતન નિયમો જ આપવામાં આવ્યા છે. સાતત્ય ગતિ સાથે જોડાયેલી ગોઠવણી (મૂળ/વર્તમાન ગોઠવણી) પર આધારિત સંકેત નિયમો—મોટા/નાના અક્ષરોનો ભેદ અને દ્રવ્ય અવકલન તથા અવકાશીય અવકલનનો ભેદ—ગોઠવણીની કલ્પના રજૂ કરતું ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ વિભાગ સમજાવે છે.

ટેન્સર સંકેતન¶

ઘાટા અક્ષરમાં સદિશ અને ટેન્સર સંકેતન¶

લિપિ અંગેના મૂળ નિયમ મુજબ સ્કેલર રાશિઓ અને સદિશ/ટેન્સરના ઘટકો સામાન્ય અક્ષરમાં (\(\rho\), \(x_i\) વગેરે) અને સદિશ/ટેન્સર રાશિઓ પોતે ઘાટા અક્ષરમાં (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) વગેરે) લખાય છે.

Einstein સંકોચન પરંપરા¶

વિશેષ ઉલ્લેખ ન હોય તો એ જ પદમાં એક જ ઇન્ડેક્સ બે વખત આવે ત્યારે તે ઇન્ડેક્સ પર સરવાળો લેવાની Einstein સરવાળા સંમતિ લાગુ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

છે, અને ટેન્સર \(\boldsymbol{A}\) તથા \(\boldsymbol{B}\) ના ગુણાકાર \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) નો \(i,j\) ઘટક

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

બને છે. ઇન્ડેક્સ પરંપરા મુજબ, ખાસ ઉલ્લેખ ન હોય ત્યારે \(i, j, k, l, \ldots\) સ્વતંત્રતા અંશ સંબંધિત ઇન્ડેક્સ (3D માં \(1, 2, 3\)) દર્શાવે છે અને નાના ગ્રીક અક્ષરો \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) તત્ત્વના રચનાત્મક નોડ સંબંધિત ઇન્ડેક્સ દર્શાવે છે.

આંતરિક ગુણાકાર, પરિવર્તિત અને ટેન્સર ગુણાકાર¶

ટેન્સર \(\boldsymbol{A}\) નો પરિવર્તિત \(\boldsymbol{A}^T\) તરીકે દર્શાવાય છે. દ્વિતીય-ક્રમ ટેન્સર \(\boldsymbol{A}\) અને \(\boldsymbol{B}\) નો આંતરિક ગુણાકાર (દ્વિ-સંકોચન)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

રૂપે દર્શાવાય છે. સદિશો \(\boldsymbol{a}\) અને \(\boldsymbol{b}\) નો આંતરિક ગુણાકાર \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) અને ટેન્સર ગુણાકાર \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) છે.

Voigt સંકેતન¶

તાણ અને વિકૃતિ સ્વતંત્રતા અંશ અંગેના દ્વિતીય-ક્રમના સમમિત ટેન્સર છે અને તેમના રેખીય સંબંધનો ગુણાંક ચતુર્થ-ક્રમનો ટેન્સર છે. તેને સીધા પ્રોગ્રામમાં સંભાળવું ગણતરી ખર્ચ અને કોડિંગ (બહુપરિમાણીય એરે અને ઊંડા અંતર્ગૂંથેલા લૂપ્સ) માટે અકાર્યક્ષમ છે. તેથી સામાન્ય સીમિત તત્ત્વ પ્રોગ્રામો સમમિતિનો ઉપયોગ કરીને તાણ અને વિકૃતિને સ્તંભ સદિશ તથા ચતુર્થ-ક્રમના સ્થિતિસ્થાપક ટેન્સરને દ્વિમિતિ મેટ્રિક્સ તરીકે સંકુચિત કરે છે. આને Voigt સંકેતન કહે છે.

આગળ ટેન્સર રાશિ \(\boldsymbol{A}\) ના મેટ્રિક્સ/સદિશ સ્વરૂપને \(\hat{A}\) લખીને મૂળ ટેન્સરથી અલગ દર્શાવવામાં આવશે.

તાણ અને વિકૃતિનું સદિશ સંકેતન¶

સમમિત તાણ ટેન્સર \(\boldsymbol{\sigma}\) અને વિકૃતિ ટેન્સર \(\boldsymbol{\varepsilon}\) માટે દ્વિમિતિમાં

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ત્રિમિતિમાં

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

આ રીતે સ્તંભ સદિશ તરીકે સંભાળવામાં આવે છે. પરિવર્તન અને અવકલન જેવી ઉત્પન્ન રાશિઓ પર પણ એ જ નિયમ લાગુ પડે છે. વિકૃતિ તરફના કાતર ઘટકોને ગુણાંક 2 મળે છે તે ધ્યાનમાં રાખવું (તાણ તરફ નહીં). આ અસમતાથી ટેન્સર આંતરિક ગુણાકાર સદિશ આંતરિક ગુણાકાર તરીકે

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

ના સ્વરૂપે સરળતાથી લખી શકાય છે. અમલીકરણમાં કાતર વિકૃતિના ગુણક 2 માં ભૂલ થવાની શક્યતા હોવાથી “તાણ માટે નહીં / વિકૃતિ માટે હા” નિયમ સતત ધ્યાનમાં રાખવો જોઈએ. મૂળ ગોઠવણીની રાશિઓ (2nd Piola-Kirchhoff તાણ \(\boldsymbol{S}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિ \(\boldsymbol{E}\)) માટે પણ બરાબર એ જ Voigt નિયમ લાગુ પડે છે.

ચતુર્થ-ક્રમના ટેન્સરનું મેટ્રિક્સ સંકેતન¶

તાણ-વિકૃતિ રેખીય સંબંધ \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (ઘટક સ્વરૂપે \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) માટે \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ની સમમિતિ વાપરતાં

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

રૂપે ફરી લખી શકાય છે. ત્રિમિતિમાં \(\tilde{C}\) ને 6×6 સામગ્રી મેટ્રિક્સ \(\hat{\tilde{C}}\) તરીકે ગોઠવતાં મૂળ ટેન્સર સંબંધ

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

રૂપે દર્શાવી શકાય છે. આગળ આ માર્ગદર્શિકામાં ખાસ ઉલ્લેખ ન હોય તો સામગ્રી મેટ્રિક્સને \(D\) (અથવા \(\hat{C}\)) લખવામાં આવશે. સમદિશ રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતાના ચોક્કસ ઘટકો માટે રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા જુઓ.

અવકલન ઓપરેટરની પરંપરા¶

સમમિત ઢાળ ઓપરેટર¶

સદિશ ક્ષેત્ર \(\boldsymbol{u}\) માટે સમમિત ઢાળ ઓપરેટર \(\nabla_S\) ને

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

રૂપે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ઘટક સ્વરૂપે \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) છે. અતિસૂક્ષ્મ વિકૃતિ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) આ ઓપરેટરથી સંક્ષિપ્ત રીતે દર્શાવી શકાય છે. સીમિત વિરૂપતામાં ઢાળ કઈ ગોઠવણી (મૂળ/વર્તમાન)માં લેવો તે ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ માં આવરી લેવાયું છે.

દ્રવ્ય સમય અવકલન¶

રાશિ \(A\) નું દ્રવ્ય સમય અવકલન (એ જ દ્રવ્ય બિંદુને અનુસરતું સમય અવકલન) ઉપરના બિંદુ વડે \(\dot{A}\) તરીકે દર્શાવાય છે:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

વેગ અને પ્રવેગ આ પરંપરા અનુસરે છે.

સંબંધિત વિષયો¶

ગતિ, વિરૂપતા અને વિકૃતિ — મૂળ/વર્તમાન ગોઠવણીની કલ્પના અને ગોઠવણી-આધારિત સંકેત પરંપરા (મોટા/નાના અક્ષર, દ્રવ્ય/અવકાશીય અવકલન)
તાણ અને સંરક્ષણ નિયમો — આ સંકેતન વડે શાસક સમીકરણોની વ્યૂત્પત્તિ
આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત — નબળું સ્વરૂપ અને Voigt સંકેતન વચ્ચેનો ઉપયોગભેદ
રેખીય સ્થિતિસ્થાપકતા — સામગ્રી મેટ્રિક્સ \(D\) નું ચોક્કસ સ્વરૂપ
આકાર વિધેયો અને સીમિત તત્ત્વ આસન્નીકરણ — Voigt સંકેતનથી તત્ત્વ કઠોરતાની ગણતરી