Newton-Raphson પદ્ધતિ¶

રેખીયકરણ અને પુનરાવર્તિત આવર્તન સંબંધ¶

બાહ્ય બળનું આભાસી કાર્ય અને વૈશ્વિક સમીકરણનું સંયોજન માં મેળવેલા સમય \(t_{n+1}\) પરના નોડલ વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) સંબંધિત અરેખીય સમીકરણને Newton-Raphson પદ્ધતિથી ઉકેલવામાં આવે છે. સમય \(t_n\) સુધીનું નોડલ વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}_n\) જાણીતું માનવામાં આવે છે અને વિસ્થાપન વધારો \(\Delta\boldsymbol{u}\) ને અજ્ઞાત ચલ તરીકે લઈને

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

મેળવવામાં આવે છે. આગળ બાહ્ય બળ વેક્ટરની નોડલ વિસ્થાપન પરની નિર્ભરતા અવગણીને, \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) તરીકે

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ઉકેલવામાં આવે છે.

વર્તમાન ઉકેલ \(\Delta\boldsymbol{u}\) પરની સ્પર્શીય કઠોરતા

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

નો ઉપયોગ કરીને અરેખીય સમીકરણનું રેખીયકરણ કરીએ તો

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

મળે છે. \(i\)-મા પુનરાવર્તનમાં સુધારાની રકમને \(d\boldsymbol{u}_i\) અને પુનરાવર્તનના આરંભે અવશેષ વેક્ટરને

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

રૂપે લખીએ તો, પુનરાવર્તિત આવર્તન સંબંધ

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

રૂપે મળે છે. અવશેષ \(\boldsymbol{R}_i\) સમતુલનથી બળના અસંતુલનને દર્શાવતી રાશિ છે.

સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સની રચના¶

સ્પર્શીય કઠોરતા \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\), આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ માં મેળવેલા તત્ત્વના આંતરિક બળ વેક્ટરને નોડલ વિસ્થાપન અનુસાર આંશિક અવકલિત કરીને, દરેક તત્ત્વ માટે મળેલા સમાકલ્ય પદને તત્ત્વ ક્ષેત્ર પર સમાકલિત કરીને અને તે બધાનું એસેમ્બલી કરીને રચાય છે. તત્ત્વ સ્તરના સમાકલ્ય પદને \(\boldsymbol{K}^e_X\) (સંદર્ભ ગોઠવણીમાં નિર્દેશન, TL પદ્ધતિ) અથવા \(\boldsymbol{K}^e_x\) (વર્તમાન ગોઠવણીમાં નિર્દેશન, UL પદ્ધતિ) તરીકે લખીએ તો તત્ત્વની સ્પર્શીય કઠોરતા

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

થી આપવામાં આવે છે. નીચે TL/UL ના સમાકલ્ય પદોના અંતિમ સ્વરૂપ બતાવવામાં આવ્યા છે. બંનેમાં તેને પદાર્થ કઠોરતા પદ (પ્રારંભિક વિસ્થાપન પદ) અને ભૌમિતિક કઠોરતા પદ (પ્રારંભિક તાણ પદ) ના સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

Total Lagrange પદ્ધતિ¶

Total Lagrange પદ્ધતિમાં દ્વિતીય Piola-Kirchhoff તાણના દર \(\dot{\boldsymbol{S}}\) અને Green-Lagrange વિકૃતિના દર \(\dot{\boldsymbol{E}}\) વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) માનવામાં આવે છે. આ રેખીય સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો (St.Venant-Kirchhoff પદાર્થો) અને અતિસ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોના સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમોને અનુરૂપ છે, અને FrontISTR માં આ પદાર્થો માટે Total Lagrange પદ્ધતિ વપરાય છે. આ સ્થિતિમાં તત્ત્વની સ્પર્શીય કઠોરતાનું સમાકલ્ય પદ ટેન્સર સ્વરૂપે

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

રૂપે લખી શકાય છે. જમણી બાજુનું પ્રથમ પદ પદાર્થ કઠોરતા પદ (પ્રારંભિક વિસ્થાપન પદ) અને બીજું પદ ભૌમિતિક કઠોરતા પદ (પ્રારંભિક તાણ પદ) છે.

FrontISTR ના અમલીકરણમાં આ સમાકલ્ય પદને Voigt નિર્દેશનનો ઉપયોગ કરીને નીચેના મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે.

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

દરેક મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છે. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) એ આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ માં રજૂ કરાયેલા B મેટ્રિક્સ છે, અને \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) એ સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) નું Voigt નિર્દેશન ધરાવતું \(6\times 6\) પદાર્થ કઠોરતા મેટ્રિક્સ છે (ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) એ ભૌમિતિક કઠોરતા પદને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે વપરાતા નીચેના પુનર્ગોઠવણી મેટ્રિક્સ છે. પ્રથમ, \(3\times 3\) દ્વિતીય-ક્રમ ટેન્સર \(\boldsymbol{A}\) ને 9-ઘટક વેક્ટરમાં ફરી ગોઠવવાનું નિર્દેશન \([\,\cdot\,]\) નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

આ વ્યાખ્યા મુજબ, \(\boldsymbol{F}_9\) વિરૂપતા-ઢાળના ફેરફારને \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) સ્વરૂપે દર્શાવતું \(9\times d n_e\) મેટ્રિક્સ છે. તત્ત્વ નોડ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ને અનુરૂપ \(9\times d\) બ્લોક

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ એ } 3\times 3 \text{ એકમ મેટ્રિક્સ}) \]

છે, અને આ બ્લોકોને તત્ત્વ નોડના ક્રમમાં આડાં ગોઠવીને \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) મળે છે. \(\boldsymbol{S}_9\) આ સાથે જોડીને ભૌમિતિક કઠોરતા પદ \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) તરીકે વ્યક્ત થાય તે રીતે પસંદ કરાયેલ \(9\times 9\) મેટ્રિક્સ છે:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

આ મેટ્રિક્સ મળે છે.

Updated Lagrange પદ્ધતિ¶

Updated Lagrange પદ્ધતિમાં સાપેક્ષ Kirchhoff તાણ ટેન્સરના Jaumann દર \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) અને વિરૂપતા-દર ટેન્સર \(\boldsymbol{D}\) વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) માનવામાં આવે છે. આ રેખીય સ્થિતિસ્થાપક, સ્થિતિસ્થાપક-પ્લાસ્ટિક અને ક્રીપ પદાર્થોમાં સામાન્ય એવા અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમનું સ્વરૂપ છે, અને FrontISTR માં આ પદાર્થો માટે Updated Lagrange પદ્ધતિ વપરાય છે. આ સ્થિતિમાં વર્તમાન ગોઠવણીમાં વ્યક્ત કરાયેલ તત્ત્વ સ્પર્શીય કઠોરતાનું સમાકલ્ય પદ ટેન્સર સ્વરૂપે

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

રૂપે લખી શકાય છે (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell દર છે, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi વિકૃતિનો રેખીય ભાગ છે, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) વર્તમાન ગોઠવણીના સંદર્ભમાં વિસ્થાપન ઢાળ છે અને \(\boldsymbol{L}\) વેગ-ઢાળ ટેન્સર છે). જમણી બાજુનું પ્રથમ પદ પદાર્થ કઠોરતા પદ અને બીજું પદ ભૌમિતિક કઠોરતા પદ છે.

FrontISTR ના અમલીકરણમાં આ સમાકલ્ય પદને Voigt નિર્દેશનનો ઉપયોગ કરીને નીચેના મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ગણવામાં આવે છે.

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

અહીં \(\boldsymbol{b}\) વર્તમાન ગોઠવણીમાં રચાયેલ B મેટ્રિક્સ છે (આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) એ TL પદ્ધતિ માટે વ્યાખ્યાયિત \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) માં દ્વિતીય PK તાણ \(\boldsymbol{S}\) ને Cauchy તાણ \(\boldsymbol{\sigma}\) થી અને સંદર્ભ ગોઠવણી ઢાળ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ને વર્તમાન ગોઠવણી ઢાળ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) થી બદલવાથી મળે છે.

\(\boldsymbol{G}\) એ Cauchy તાણ પર આધારિત સુધારક મેટ્રિક્સ છે, જે અર્ધ-સ્થિતિસ્થાપક સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ને Truesdell દર આધારિત સામગ્રી-પ્રતિભાવ નિયમ તરીકે સ્પર્શીય કઠોરતાના માળખા સાથે સુસંગત બનાવવા માટે જરૂરી છે. ચોથા-ક્રમના ટેન્સર ઘટકો \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ને \(6\times 6\) Voigt સ્વરૂપમાં ગોઠવવાથી

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

મળે છે.

વૈશ્વિક કઠોરતા મેટ્રિક્સનું એસેમ્બલી¶

વૈશ્વિક સ્પર્શીય કઠોરતા \(\boldsymbol{K}\) મેળવવા માટે તત્ત્વ કઠોરતા \(\boldsymbol{K}^e\) ને દરેક નોડ જોડા માટેના \(d\times d\) બ્લોક \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને તત્ત્વ-નોડલ ભૌતિક રાશિઓનું એસેમ્બલી માં રજૂ કરાયેલા દ્વિતીય-ક્રમ ટેન્સર એસેમ્બલી સમૂહ \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) નો ઉપયોગ કરીને

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ને \(i_g\) પંક્તિ અને \(i_h\) સ્તંભમાં ગોઠવેલા મેટ્રિક્સ તરીકે મેળવવામાં આવે છે. અમલીકરણમાં સમૂહ \(\mathcal{E}^2\) સ્પષ્ટ રીતે બનાવવામાં આવતો નથી; તેના બદલે તત્ત્વ લૂપની અંદર સંબંધિત બ્લોકમાં સીધો ઉમેરો કરવામાં આવે છે. આ મેટ્રિક્સનું પરિમાણ પ્રતિ નોડ સ્વતંત્રતા અંશોની સંખ્યા \(\times\) કુલ નોડોની સંખ્યા \(n_g\) જેટલું હોય છે, પરંતુ તત્ત્વો દ્વારા જોડાયેલા નોડોની જોડીઓ સિવાયના ઘટકો \(0\) હોવાથી તેને વિરળ મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત કરવામાં આવે છે.

TL પદ્ધતિ અને UL પદ્ધતિની તત્ત્વ કઠોરતા, સંદર્ભ ગોઠવણી બદલવા (નોડલ નિર્દેશાંકો અને B મેટ્રિક્સના રચના સ્ત્રોત) તથા \(\boldsymbol{G}\) મેટ્રિક્સની હાજરી કે ગેરહાજરી સિવાય સમાન સ્વરૂપ ધરાવે છે; તેથી FrontISTR માં બંનેનું અમલીકરણ સામાન્ય સબરૂટિન દ્વારા થાય છે.

પુનરાવર્તન અલ્ગોરિધમ¶

ઉપરોક્તને સંક્ષેપમાં લઈએ તો, પુનરાવર્તનના આરંભે \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) રાખીને પ્રારંભિક અવશેષ \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) ગણવામાં આવે છે. ત્યારબાદ \(i\)-મા પુનરાવર્તનમાં નીચેની પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે.

વર્તમાન વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) પર સ્પર્શીય કઠોરતા \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ને સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સની રચના માં દર્શાવેલી પ્રક્રિયા વડે ગણો.
ભૌમિતિક સીમા શરતો લાગુ કરવા માટે, વિસ્થાપન નિયંત્રણ ધરાવતા સ્વતંત્રતા અંશો માટે સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ અને અવશેષ વેક્ટરમાં ફેરફાર કરીને \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) મેળવો (ભૌમિતિક સીમા શરતોની પ્રક્રિયા).
રેખીય સમીકરણ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ઉકેલી સુધારાની રકમ \(d\boldsymbol{u}_i\) મેળવો. આ પ્રક્રિયા ઘણી વખત પુનરાવર્તિત ગણતરીના કુલ ગણનાત્મક ભારનો મોટો ભાગ લે છે.
વિસ્થાપન વધારાને \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) તરીકે સુધારો અને તે અનુસાર આંતરિક બળ વેક્ટર \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) તથા અવશેષ \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ગણો.
અભિસરણની તપાસ કરો અને અભિસરણ પ્રાપ્ત થાય તો પુનરાવર્તન સમાપ્ત કરો. અવશેષ \(\boldsymbol{R}_i\) માં ભૌમિતિક સીમા શરતો લાગુ કરાયેલા સ્વતંત્રતા અંશો માટે નિયંત્રણ પ્રતિક્રિયા બળને અનુરૂપ ઘટકો દેખાય છે; તેથી આ ઘટકોને દૂર કર્યા પછીના \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) પરથી નિર્ધારક માપદંડ બનાવવામાં આવે છે. ચોક્કસ અભિસરણ માપદંડ અને સીમા મૂલ્યો અભિસરણ માપદંડ માં વર્ણવાયેલા છે. અભિસરણ ન થાય અને પુનરાવર્તન મર્યાદા પહોંચી જાય તો પુનરાવર્તન નિષ્ફળ માનવામાં આવે છે.

પુનરાવર્તન અભિસરિત થાય ત્યારે, અભિસરિત \(\Delta\boldsymbol{u}\) ને \(\boldsymbol{u}_n\) માં ઉમેરીને સમય \(t_{n+1}\) નું સંચિત વિસ્થાપન \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) મેળવવામાં આવે છે અને પછીના સમય સ્ટેપ પર આગળ વધવામાં આવે છે.

સંબંધિત વિષયો¶

બાહ્ય બળનું આભાસી કાર્ય અને વૈશ્વિક સમીકરણનું સંયોજન — ઉકેલવાના અરેખીય સમીકરણનો પ્રારંભબિંદુ
આંતરિક બળના આભાસી કાર્યનું વિવિક્તીકરણ — \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{b}\) ની રચના
ભૌમિતિક સીમા શરતોની પ્રક્રિયા — વિસ્થાપન નિયંત્રણ લાગુ કરવા સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ અને અવશેષ વેક્ટરમાં ફેરફાર
અભિસરણ માપદંડ — અવશેષ નોર્મ આધારિત રોકાણ શરતો
ટેન્સર સંકેતન અને ગણિતીય આધાર — પદાર્થ મેટ્રિક્સ \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) નું Voigt નિર્દેશન
અરેખીય પુનરાવર્તન અને સમય સમાકલન (કાર્ય) — કાર્ય સંદર્ભમાં ઉપયોગ અને પસંદગી