ગતિશીલ વિશ્લેષણ પદ્ધતિ¶

આ વિભાગમાં સીધી સમય સમાકલન પદ્ધતિ વાપરતી ગતિશીલ સમસ્યાની વિશ્લેષણ પદ્ધતિ દર્શાવવામાં આવે છે. નીચે અવ્યક્ત અને સ્પષ્ટ પદ્ધતિઓના સૂત્રીકરણો આપવામાં આવ્યા છે.

ગતિ સમીકરણનું વિવિક્તીકરણ (સામાન્ય માળખું)¶

હજી નિર્ધારિત કરવાનું બાકી છે (આગામી તબક્કામાં સંપૂર્ણ લખાણ ઉમેરાશે).

અવ્યક્ત પદ્ધતિ (Newmark-β પદ્ધતિ)¶

ગતિશીલ સમસ્યાઓ માટે નીચે દર્શાવેલા ગતિ સમીકરણના ઉકેલમાં સીધી સમય સમાકલન પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં આવે છે.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

અહીં \(M\) દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ, \(C\) ડેમ્પિંગ મેટ્રિક્સ, \(Q\) આંતરિક બળ સદિશ અને \(F\) બાહ્ય બળ સદિશ છે. અરેખીય વિશ્લેષણમાં પણ દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સને વિરૂપતાથી સ્વતંત્ર અચળ માનવામાં આવે છે.

સમય વૃદ્ધિ \(\Delta t\) દરમિયાન વિસ્થાપન, વેગ અને પ્રવેગના ફેરફારોને Newmark-\(\beta\) પદ્ધતિથી સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.2}\) અને \(\eqref{eq:2.5.3}\) મુજબ અંદાજવામાં આવે છે.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

અહીં \(\gamma\) અને \(\beta\) Newmark-\(\beta\) પદ્ધતિના પરિમાણો છે.

જાણીતું છે કે \(\gamma\) અને \(\beta\) ને નીચેના મૂલ્યો આપવાથી પદ્ધતિ અનુક્રમે રેખીય પ્રવેગ પદ્ધતિ અથવા ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ સમકક્ષ બને છે.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)(રેખીય પ્રવેગ પદ્ધતિ)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)(ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમ)

સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.2}\) અને \(\eqref{eq:2.5.3}\) ને \(\eqref{eq:2.5.1}\) માં મૂકી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

રેખીય સમસ્યામાં ખાસ કરીને \(K_L\) રેખીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ છે અને \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). આને ઉપરના સમીકરણમાં મૂકી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

ભૌમિતિક સીમા શરત તરીકે પ્રવેગ નિર્દિષ્ટ હોય ત્યાં સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.2}\) પરથી નીચેનું વિસ્થાપન મળે છે.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

એ જ રીતે, વેગ નિર્દિષ્ટ હોય ત્યાં સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.6}\) પરથી નીચેનું વિસ્થાપન મળે છે.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

અહીં, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) સમય\(t+\Delta{t}\) પરનો નોડ વિસ્થાપન,\(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) સમય\(t+\Delta{t}\) નો નોડ વેગ, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) સમય\(t+\Delta{t}\) નો નોડ પ્રવેગ,\(i\) નોડ સ્વતંત્રતા અંશ નંબર,\(s\) નોડ નંબર છે. દ્રવ્યમાન અને ડેમ્પિંગ પદોને નીચે મુજબ સંભાળવામાં આવે છે.

દ્રવ્યમાન પદનું સંચાલન¶

દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સને મૂળભૂત રીતે કેન્દ્રિત દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

ડેમ્પિંગ પદનું સંચાલન¶

ડેમ્પિંગ પદને સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.8}\) દ્વારા દર્શાવેલા Rayleigh અવમંદન તરીકે ગણવામાં આવે છે.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

અહીં \(R_m\) અને \(R_k\) Rayleigh અવમંદનના પરિમાણો છે.

!DYNAMIC કાર્ડમાં નિર્દિષ્ટ \(R_m\) અને \(R_k\) સમગ્ર મોડેલ પર સમાન રીતે લાગુ પડે છે. દરેક સામગ્રી માટે જુદા \(R_m\), \(R_k\) આપવા હોય તો તે સામગ્રીના !MATERIAL બ્લોકમાં !DAMPING કાર્ડ નિર્દિષ્ટ કરો. !DAMPING ધરાવતી સામગ્રીના તત્ત્વો માટે તત્ત્વ દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ \(M_i\) અને સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ \(K_i\) પરથી \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) તરીકે તત્ત્વ ડેમ્પિંગ મેટ્રિક્સ ગણાય છે અને વૈશ્વિક ડેમ્પિંગ મેટ્રિક્સમાં જોડાય છે. આ કાર્ય ફક્ત અવ્યક્ત પદ્ધતિમાં માન્ય છે.

સ્પષ્ટ પદ્ધતિ (કેન્દ્રીય તફાવત પદ્ધતિ)¶

સ્પષ્ટ પદ્ધતિ સમય t પરના નીચે દર્શાવેલા ગતિ સમીકરણ પર આધારિત છે.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

અહીં સમય \(t + \Delta t\) અને \(t - \Delta t\) ના વિસ્થાપનોને સમય \(t\) આસપાસ Taylor વિસ્તરણથી વ્યક્ત કરીને \(\Delta t\) ના દ્વિતીય ક્રમ સુધીના પદો રાખીએ તો નીચે મુજબ મળે છે.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.3}\) અને \(\eqref{eq:2.5.4}\) ના તફાવત અને સરવાળાથી નીચેના સમીકરણો મળે છે.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.12}\) અને \(\eqref{eq:2.5.13}\) ને \(\eqref{eq:2.5.9}\) માં મૂકી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

રેખીય સમસ્યામાં ખાસ કરીને \(Q(t) = K_L U(t)\), તેથી ઉપરનું સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

અહીં દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ \(M\) ને કેન્દ્રિત દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ અને ડેમ્પિંગ મેટ્રિક્સને પ્રમાણસર ડેમ્પિંગ મેટ્રિક્સ \(C = R_m M\) તરીકે લેવાથી સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.15}\) માટે સમકાલીન સમીકરણો ઉકેલવાની જરૂર રહેતી નથી.

અેથી સમીકરણ \(\eqref{eq:2.5.15}\) પરથી \(U(t+\Delta t)\) નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

સંબંધિત વિષયો¶

વિશ્લેષણ પ્રકાર — ગતિશીલ વિશ્લેષણના કાર્યનો સાર અને ઉપયોગની પસંદગી
સંદર્ભગ્રંથો