Skip to content

આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણ

સમસ્યાની ગોઠવણી

આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણમાં બાહ્ય બળ સમય સાથે હાર્મોનિક રીતે બદલાતું હોય ત્યારે સ્થિર સ્થિતિમાં સિસ્ટમના પ્રતિસાદ આયામ અને ચરણનું આવર્તન ક્ષેત્રમાં મૂલ્યાંકન થાય છે. અવમંદન વગર અને અવમંદન સાથેના ગતિ સમીકરણો માટે માળખું અલગ હોવાથી, આ અધ્યાય પહેલા અવમંદન વગરના મુક્ત કંપનમાંથી આઇગનમોડ્સ કાઢે છે અને પછી તેને મોડલ આધાર તરીકે લઈને અવમંદન હેઠળ હાર્મોનિક પ્રતિસાદ વિસ્તારે છે.

અવમંદન વિનાનું મુક્ત કંપન અને આઇગનમોડ્સ

અવમંદન ધ્યાનમાં ન લેવાય ત્યારે ગતિ સમીકરણ નીચે મુજબ છે.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

તેને દરેક આઇગનમોડ માટે વિસ્તૃત કરીએ તો,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

મળે છે. તેને સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.1}\) માં પ્રતિસ્થાપિત કરતાં,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

મળે છે. આ સામાન્યકૃત આઇગનમૂલ્ય સમસ્યાની સંખ્યાત્મક ઉકેલ (શિફ્ટેડ વ્યસ્ત પુનરાવર્તન અને Lanczos પદ્ધતિ) મોડલ વિશ્લેષણ માં સમજાવવામાં આવી છે. અહીં મેળવેલી આઇગનઆવર્તન અને આઇગનમોડના તે ગુણધર્મો ગોઠવીએ છીએ જે આગળના હાર્મોનિક-પ્રતિસાદ પ્રસરણમાં વપરાય છે.

આઇગનઆવર્તનની વાસ્તવિકતા

આ આઇગનઆવર્તન વાસ્તવિક છે તે નીચે મુજબ સાબિત કરી શકાય છે. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) રાખીને સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.3}\) નું સંકુલ સંયુગ્મ લેતાં સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.4}\) મળે છે.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

તેને \(\overline{U}_J^T\) થી ગુણતાં,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

મળે છે. સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.5}\) પરથી,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

મળે છે. અહીં દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ ધન-નિશ્ચિત સમમિત હોવાથી શૂન્યેતર સ્વસદિશ માટે

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

સત્ય છે. તેથી,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

થાય છે અને \(\omega_j^2 = \lambda_j\) વાસ્તવિક છે.

સ્વમોડોની લંબત્વ અને સામાન્યીકરણ

હવે બે અલગ મોડો વિચારીએ.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

તેથી,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

મળે છે અને આઇગનમૂલ્યો અલગ હોય ત્યારે,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

થાય છે. એટલે અલગ આઇગનમોડ્સ દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ સંબંધે લંબલક્ષી છે. સમાન મોડ માટે દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ સંબંધે સામાન્યીકરણ (સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.12}\)) કરવાથી આગળની ગણતરી સરળ બને છે.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

અવમંદન હેઠળ હાર્મોનિક પ્રતિસાદ

હવે અવમંદન ધ્યાનમાં લેતા આવર્તન પ્રતિભાવ વિશ્લેષણનું સૂત્રીકરણ દર્શાવીએ. લક્ષ્ય ગતિ સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.13}\) માં દર્શાવ્યું છે.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

અહીં અવમંદન પદને Rayleigh પ્રકાર માનીને \(\eqref{eq:2.6.14}\) મુજબ વ્યક્ત કરી શકાય છે.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

મોડલ વિશ્લેષણથી મેળવેલા સ્વસદિશો દ્વારા વિસ્થાપન સદિશ સમય t પર સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.15}\) મુજબ વિસ્તારવું કરી શકાય છે.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

આ સમયે બાહ્ય-બળ પદ હાર્મોનિક દોલક સ્વરૂપ

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

હોય ત્યારે \(b_{j}(t)\) નક્કી કરીએ. ગતિ સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.13}\) બળપ્રેરિત-કંપન સ્વરૂપમાં હોવાથી

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

સત્ય છે. \(b_{j}(t)\) ના પ્રસરણ ગુણાંકના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો કાઢતાં સમીકરણ \(\eqref{eq:2.6.18}i\) અને \(\eqref{eq:2.6.19}\) મળે છે.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

થાય છે.

સંબંધિત વિષયો