અસ્થાયી ઉષ્મા વહન વિશ્લેષણ
સીમિત તત્ત્વ પદ્ધતિ (Finite Element Method) દ્વારા ઘન પદાર્થના ઉષ્મા વહન વિશ્લેષણ માટે સમય વિવિક્તીકરણ અને પુનરાવર્તક ઉકેલ પદ્ધતિ અહીં દર્શાવવામાં આવે છે. સાતત્ય માધ્યમના શાસક સમીકરણો અને સીમા શરતો માટે ઉષ્મા વહન સમીકરણ જુઓ.
વિવિક્ત સમીકરણ (પ્રારંભ બિંદુ)
ઉષ્મા વહન સમીકરણ（ઉષ્મા વહન સમીકરણનું સમીકરણ (gov_he_main)）ને Galerkin પદ્ધતિથી વિવિક્ત કરતાં,
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
અહીં,
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
અહીં \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) અનુક્રમે ઉષ્મા વહન મેટ્રિક્સ (સીમા યોગદાનના સંવહન અને વિકિરણ પદો સહિત), દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ, ઉષ્મા ભાર સદિશ અને આકાર વિધેય મેટ્રિક્સ છે. ગુણધર્મ સંકેતો \(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) વગેરેની વ્યાખ્યા ઉષ્મા વહન સમીકરણ મુજબ છે.
સમય વિવિક્તીકરણ અને પુનરાવર્તક ઉકેલ
સમીકરણ \(\eqref{eq:2.4.8}\) અરેખીય અને અસ્થાયી બંને છે. સમય માટે backward Euler પદ્ધતિથી વિવિક્ત કરીને, સમય \(t=t_0\) પર તાપમાન જાણીતું હોય ત્યારે સમય \(t=t_0+\Delta t\) પરનું તાપમાન નીચેના સમીકરણથી ગણીએ.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
અહીં સમીકરણ \(\eqref{eq:2.4.13}\) ને અંદાજે સંતોષતો તાપમાન સદિશ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) ને સુધારી વધુ ચોક્કસ ઉકેલ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) મેળવવાનો વિચાર કરીએ.
તે માટે પ્રથમ તાપમાન સદિશને નીચે મુજબ વ્યક્ત કરીએ.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
ઉષ્મા વહન મેટ્રિક્સ અને તાપમાન સદિશનું ગુણાકાર, દ્રવ્યમાન મેટ્રિક્સ વગેરેને નીચે મુજબ અંદાજિત રીતે વ્યક્ત કરીએ.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
સમીકરણો \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) અને \(\eqref{eq:2.4.16}\) ને \(\eqref{eq:2.4.13}\) માં મૂકી દ્વિતીય અને ઊંચા ક્રમના પદો છોડવાથી નીચેનું સમીકરણ મળે છે.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
આગળ, ડાબી બાજુના ગુણાંક મેટ્રિક્સનું નીચેના સમીકરણથી અંદાજિત મૂલ્યાંકન કરીએ.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
અહીં \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) સ્પર્શીય કઠોરતા મેટ્રિક્સ છે.
અંતે નીચેના સમીકરણ વડે પુનરાવર્તક ગણતરી કરીને સમય \(t=t_0+\Delta t\) પરનું તાપમાન મેળવી શકાય છે.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
ખાસ કરીને સ્થિર-અવસ્થા વિશ્લેષણમાં નીચેના સમીકરણ વડે પુનરાવર્તક ગણતરી કરવામાં આવે છે.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
અસ્થાયી વિશ્લેષણમાં સમય વૃદ્ધિ \(\Delta t\) ની પસંદગી પર સામાન્ય રીતે સ્થિરતાજન્ય મર્યાદા નથી, કારણ કે સમય વિવિક્તીકરણ માટે અવ્યક્ત પદ્ધતિ વપરાય છે. જોકે \(\Delta t\) બહુ મોટું હોય તો પુનરાવર્તક ગણતરીમાં અભિસરણ માટે જરૂરી પુનરાવર્તનો વધે છે. સામાન્ય રીતે \(\Delta t\) બહુ મોટું હોય તો પુનરાવર્તનો વધે છે. અમલીકરણમાં અવશેષ સદિશનું પરિમાણ મોનિટર કરવામાં આવે છે; અભિસરણ ધીમું હોય તો \(\Delta t\) ઘટાડવામાં અને પુનરાવર્તનો ઓછા હોય તો \(\Delta t\) વધારવામાં આવે છે. આ માટે આપમેળે વૃદ્ધિ નિયંત્રણ વપરાય છે (વિગતો માટે સ્ટેપ નિયંત્રણ જુઓ).
સંબંધિત વિષયો