Skip to content

ભૌમિતિક સીમા શરતોનું સંચાલન

Newton-Raphson પદ્ધતિમાં દરેક પુનરાવર્તનમાં ઉકેલાતું રેખીય સમીકરણ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) માં હજી ભૌમિતિક સીમા શરતો (વિસ્થાપન નિયંત્રણ) સામેલ નથી. આ અધ્યાય દર્શાવે છે કે જ્યાં વિસ્થાપન નિયંત્રણ \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) આપવામાં આવ્યું છે ત્યાં કઠોરતા મેટ્રિક્સ \(\boldsymbol{K}\) અને અવશેષ સદિશ \(\boldsymbol{R}\) કેવી રીતે સુધારવા જેથી પુનરાવર્તન પછીનું વિસ્થાપન નિયંત્રણ મૂલ્ય સુધી પહોંચે. બહુ-બિંદુ નિયંત્રણ (MPC) અને સંપર્કથી આવતાં અરેખીય નિયંત્રણો અલગ પ્રક્રિયા છે; તેના માટે બહુ-બિંદુ નિયંત્રણ અને સંપર્ક જુઓ.

વિસ્થાપન નિયંત્રણને અજ્ઞાત ચલ તરીકે જાળવવાની રીત

ભૌમિતિક સીમા શરત આપેલા નોડનું વિસ્થાપન હવે અજ્ઞાત નથી અને નિર્ધારિત મૂલ્ય \(\bar{u}_i\) પર સ્થિર છે. તેમને અચળાંક માની રેખીય સમીકરણ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)માંથી દૂર કરી શકાય, પરંતુ FrontISTR નિયંત્રિત સ્વતંત્રતા અંશને અન્ય સ્વતંત્રતા અંશ સાથે સુધારા સદિશ \(d\boldsymbol{u}\) માં જ રાખે છે અને \(\boldsymbol{K}\) તથા \(\boldsymbol{R}\) ને બદલી નિયંત્રણ અમલમાં મૂકે છે.

આ રીતે ગુણાંક મેટ્રિક્સનું પરિમાણ અને સ્વતંત્રતા અંશનો ક્રમ નિયંત્રણ હોય કે ન હોય બદલાતો નથી, તેથી ચલ દૂર કરીને ખાલી પંક્તિ-સ્તંભ ફરી ગોઠવવાની જરૂર રહેતી નથી. વિરલ મેટ્રિક્સમાં ગુણાંક મેટ્રિક્સ રાખતી અમલીકરણમાં આ પુનર્ગોઠવણી જટિલ હોવાથી FrontISTR ફક્ત ગુણાંક મેટ્રિક્સ અને જમણી બાજુ અપડેટ કરીને નિયંત્રણ પ્રાપ્ત કરતી આ રીત અપનાવે છે.

Newton-Raphson સુધારા પરિમાણ માટેનું સ્થાનાપન લક્ષ્ય

વિસ્થાપન નિયંત્રિત સ્વતંત્રતા અંશ \(i\) માટે Newton-Raphson પુનરાવર્તનમાં મેળવવાનું સુધારા પરિમાણ \(du_i\)

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{પ્રથમ પુનરાવર્તન}) \\ 0 & (\text{બીજા પુનરાવર્તનથી આગળ}) \end{cases} \]

આ મૂલ્યો મળે એ રીતે \(\boldsymbol{K}\) અને \(\boldsymbol{R}\) સુધારવામાં આવે છે. તેથી પ્રથમ પુનરાવર્તનમાં વિસ્થાપન વૃદ્ધિ નિયંત્રણ મૂલ્ય \(\bar{u}_i\) સુધી પહોંચે છે અને બીજા પુનરાવર્તનથી આગળ સુધારો \(0\) રહી નિયંત્રણ મૂલ્ય જળવાય છે.

મેટ્રિક્સ અને અવશેષ સદિશ રૂપાંતરણ પ્રક્રિયા

પાછલા વિભાગનું સ્થાનાપન લક્ષ્ય રેખીય સમીકરણ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) નું સ્વરૂપ જાળવી નીચેના બે રૂપાંતરણથી પ્રાપ્ત થાય છે.

  1. પંક્તિ \(i\) નું વિકર્ણીકરણ: \(du_i\) નો ગુણાંક રહેલા વિકર્ણ પદ \(K_{ii}\) ને \(1\) અને બાકીના બધા ગુણાંકો \(K_{ij}\ (j \not= i)\) ને \(0\) થી બદલો, અને જમણી બાજુ \(R_i \to d\bar{u}_i\) કરો. તેથી પંક્તિ \(i\) નું સમીકરણ \(du_i = d\bar{u}_i\) બને છે.
  2. પંક્તિ \(j(\not= i)\)માંથી પદ ખસેડવું: પંક્તિ \(j(\not= i)\) માટે \(K_{ji} \not= 0\) હોય તો \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) પદને જમણી બાજુ ખસેડો. એટલે જમણી બાજુમાંથી \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ઘટાડો અને \(du_i\) નો ગુણાંક \(K_{ji}\) ને \(0\) કરો.

ઘટક સ્વરૂપે લખતાં, રૂપાંતરણ પહેલાં અને પછીના સમીકરણો નીચે મુજબ અનુરૂપ છે.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

રૂપાંતરણ પછીના ગુણાંક મેટ્રિક્સ અને જમણી બાજુને અનુક્રમે \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) લખીએ તો અંતે ઉકેલવાનું રેખીય સમીકરણ

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

બને છે. એકથી વધુ નિયંત્રિત સ્વતંત્રતા અંશ હોય તો દરેક નિયંત્રિત સ્વતંત્રતા અંશ \(i\) માટે ઉપરના રૂપાંતરણ 1 અને 2 ક્રમે લાગુ કરો.

વિરલ મેટ્રિક્સ અમલીકરણમાં પ્રક્રિયાનો વિસ્તાર

અમલીકરણમાં ગુણાંક મેટ્રિક્સ \(\boldsymbol{K}\) વિરલ સ્વરૂપે રાખવામાં આવે છે. અગાઉની પ્રક્રિયા 2 માં પંક્તિ \(j(\not= i)\) માટેનું કામ ફક્ત એ પંક્તિઓ પર થાય છે જેમાં સ્તંભ \(i\) માં શૂન્યેતર ઘટક હોય, એટલે તત્ત્વ મારફતે નિયંત્રિત સ્વતંત્રતા અંશ \(i\) સાથે જોડાયેલા નોડની સ્વતંત્રતા અંશ પર. ન જોડાયેલી સ્વતંત્રતા અંશ માટે \(K_{ji} = 0\) હોવાથી પદ ખસેડવાથી જમણી બાજુ બદલાતી નથી. આ મર્યાદાથી સમગ્ર નોડ સંખ્યાની સરખામણીએ માત્ર સ્થાનિક ક્રિયાઓથી નિયંત્રણ પ્રક્રિયા પૂર્ણ થાય છે.

સંબંધિત વિષયો