איטרציה לא־ליניארית ואינטגרציה בזמן¶

FrontISTR מקדם את הפתרון באמצעות שילוב של איטרציות לא־ליניאריות ואינטגרציה בזמן בכל תת־צעד במסגרת בקרת התוספות של כל צעד. דף זה עוסק במבני האיטרציה הנמצאים בין בקרת הצעדים החיצונית לבין הפותר הליניארי הפנימי: איטרציית Newton-Raphson, איטרציית מגע, אינטגרציה בזמן לניתוח דינמי, וכן מסגרת התקדמות הזמן והאיטרציה הלא־ליניארית בהולכת חום חולפת.

סקירת הפונקציות¶

הפתרון הלא־ליניארי והאינטגרציה בזמן בתוך צעד בנויים כמספר לולאות מקוננות מן החוץ פנימה. לכל שכבה התפקיד הבא.

השכבות שמופיעות בפועל משתנות לפי סוג הניתוח.

לבחירת סוג המגע והאלגוריתם עצמם ראו מגע ושיבוץ. דף זה מתאר כיצד האלגוריתם שנבחר מאורגן כלולאת איטרציה.

בחירת סכמת הפתרון¶

מבנה האיטרציה נקבע אוטומטית מתוך סוג הניתוח שנבחר (סוגי ניתוח), קיומה או היעדרה של אי־ליניאריות (אי־ליניאריות גאומטרית, אי־ליניאריות חומרית או מגע), ואלגוריתם המגע (SLAGRANGE או ALAGRANGE). המשתמש מכוון ישירות את הגבולות העליונים למספרי האיטרציות ואת קריטריוני ההתכנסות.

ההנחיות הבאות משמשות לכוונון הגדרות אלה.

• בניתוחים סטנדרטיים, ברירת המחדל של הגבול העליון למספר האיטרציות מספיקה בדרך כלל. אם בעיה שקשה לכנסה מגיעה למספר האיטרציות המרבי בלי להתכנס, יש להשתמש תחילה ב-cutback (בקרת צעדים); יש להגדיל את הגבול העליון רק אם הדבר אינו משפר את ההתכנסות.
• יש לכוון את קריטריוני ההתכנסות כדי לאזן בין יציבות הניתוח לזמן החישוב. קריטריונים מחמירים יותר משפרים את דיוק שיווי המשקל אך מגדילים את מספר האיטרציות. בניתוחי מגע ובניתוחים הכוללים מכפילי Lagrange, שילוב של קריטריון תוספת הזזה או קריטריון Lagrange עם קריטריון השארית יכול לשפר את היציבות.
• עבור פרמטרי האינטגרציה בזמן בניתוח דינמי (מקדמי Newmark-β), יש להתחיל משילוב ערכים סטנדרטי ולכוון אותם כאשר רוצים לשנות את מאפייני הריסון הנומרי של תגובת הרטט.
• עבור סכמת האינטגרציה בזמן בהולכת חום חולפת, יש להשתמש ב-Crank-Nicolson לבעיות שבהן שינויי הטמפרטורה חלקים, וב-Backward Euler כאשר חשובים יותר שינויים חדים או יציבות לטווח ארוך.

איטרציית Newton-Raphson באנליזה סטטית¶

באנליזה סטטית לא־ליניארית, משוואות שיווי משקל הכוללות אי־ליניאריות גאומטרית או חומרית נפתרות באיטרציה בשיטת Newton-Raphson. כל איטרציה מתקדמת לפי השלבים הבאים.

1. הערך את וקטור השארית \(\boldsymbol{R}\) בפתרון הנוכחי.
2. הרכב את מטריצת הקשיחות המשיקית \(\boldsymbol{K}_T\).
3. פתור את המערכת הליניארית \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) כדי לקבל את תיקון ההזזה \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. עדכן את הפתרון לפי \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. השווה לקריטריוני ההתכנסות. אם הושגה התכנסות, סיים את האיטרציה; אחרת חזור לשלב 1.

פתרון המערכת הליניארית (שלב 3) מתבצע על ידי הפותר הליניארי. לבחירת הפותר והקדם־התניה ראו פותר וקדם־התניה.

האיטרציה נשלטת באמצעות פרמטרי בקרת הצעדים של !STEP. ערכי הבקרה העיקריים הם כדלקמן.

מספר איטרציות Newton המרבי המשמש בהחלטות על תוספת אוטומטית ו-cutback ב-בקרת צעדים הוא מספר איטרציות Newton המתואר בדף זה. בקרת תוספת אוטומטית מגדילה את תוספת הזמן לאחר תת־צעד שהתכנס במספר קטן של איטרציות ומקטינה אותה לאחר תת־צעד שנדרשו לו איטרציות רבות.

איטרציית מגע באנליזה סטטית¶

באנליזת מגע מצב המגע משתנה במהלך האיטרציה עקב מגע, הפרדה והחלקה במשטחי המגע, ולכן איטרציית Newton משולבת עם עדכוני מצב המגע. המבנה תלוי באלגוריתם פתרון המגע.

לשני האלגוריתמים משותפת לולאת חיפוש מצב מגע ברמה החיצונית ביותר. בכל מעבר בלולאה זו, לאחר שאיטרציית Newton הפנימית התכנסה, מצב המגע (מגע/הפרדה) מוערך מחדש. אם המצב השתנה, מבנה מטריצת הקשיחות מתעדכן והאיטרציה הפנימית מתבצעת שוב. הלולאה מסתיימת כאשר מצב המגע לא השתנה מן המעבר הקודם וגם קריטריוני התכנסות המגע (כוח מגע ומכפיל Lagrange) מתקיימים. הגבול העליון למספר המעברים מוגדר באמצעות MAXCONTITER של !STEP.

במגע SLAGRANGE, דרגות החופש של המגע משולבות במערכת הליניארית באמצעות שיטת מכפילי Lagrange הסטנדרטית, וכך מתקבל מבנה דו־שכבתי שבו איטרציית Newton ממוקמת ישירות בתוך לולאת חיפוש מצב המגע. אין איטרציית Lagrange מורחבת.

במגע ALAGRANGE, איטרציית Lagrange מורחבת נוספת נמצאת בתוך לולאת חיפוש מצב המגע, ובתוכה מתבצעת איטרציית Newton, כך שמתקבל מבנה תלת־שכבתי. בכל איטרציית Lagrange מורחבת, אילוץ המגע מוערך מחדש באמצעות שילוב של איבר קנס ומכפיל Lagrange, ודיוק האילוץ משתפר בהדרגה. הגבול העליון למספר איטרציות Lagrange המורחבות מוגדר באמצעות AUGITER של !CONTACT_ALGO.

ערכי הבקרה לאיטרציית המגע הם כדלקמן.

מספר איטרציות המגע שאליו מתייחסות החלטות התוספת האוטומטית ב-בקרת צעדים הוא מספר האיטרציות המתואר בדף זה, כולל עדכוני מצב המגע. בניתוחים שבהם מגע והפרדה מתרחשים לעיתים קרובות, מספר איטרציות המגע נוטה לגדול, והדבר משפיע גם על החלטות תוספת אוטומטית ו-cutback. לסוגי מגע, הגדרות זוגות ובחירת האלגוריתם ראו מגע ושיבוץ. לאופן פתרון המערכת הליניארית הכוללת דרגות חופש של מגע ראו פותר וקדם־התניה.

אינטגרציה בזמן באנליזה דינמית (שיטה אימפליציטית)¶

השיטה האימפליציטית לניתוח דינמי משתמשת בשיטת Newmark-β כדי לקשור בין ההזזה, המהירות והתאוצה בזמן הבא בכל צעד זמן, ומשלבת יחסים אלה עם משוואת התנועה כדי לקבל את המצב בזמן \(t + \Delta t\). מגבלת היציבות על צעד הזמן \(\Delta t\) מתונה, ולכן ניתן לפתור ביעילות תגובות מבניות הנשלטות על ידי רכיבי תדר נמוך.

משמשים שני פרמטרי האינטגרציה בזמן הבאים.

השילוב \(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) נקרא שיטת התאוצה הממוצעת והוא בחירה סטנדרטית היציבה ללא תנאי וללא ריסון נומרי. כדי להכניס ריסון נומרי יש לבחור \(\gamma\) גדול מ-\(1/2\). לפרטים מתמטיים על שילובי הפרמטרים, היציבות ומאפייני השגיאה ראו את מדריך התאוריה.

כאשר קיימת אי־ליניאריות (גאומטרית, חומרית או מגע), איטרציית Newton מתבצעת בתוך כל צעד זמן; המערכת הליניארית נפתרת בתוך האיטרציה והמצב מתעדכן. קריטריוני ההתכנסות משתמשים ב-CONVERG ובערכים קשורים המשותפים לניתוח סטטי. בניתוח דינמי עם מגע, אותו מבנה איטרטיבי כמו ב-איטרציית מגע בניתוח סטטי משולב בתוך כל צעד זמן.

צעד הזמן בניתוח דינמי נשלט בעיקר באמצעות תנאי הזמן של !STEP. בתוספות קבועות, !STEP מגדיר את DTIME כצעד הזמן ואת ETIME כמשך הצעד. הערכים n_step ו-t_delta של !DYNAMIC משמשים כברירות מחדל כאשר !STEP מושמט ולצורכי תאימות לאחור. בשיטה האימפליציטית הלא־ליניארית, INC_TYPE=AUTO של !STEP מאפשר תוספות אוטומטיות ו-cutback, ומגדיל או מקטין את צעד הזמן בהתאם למצב איטרציות Newton והמגע. בין שמשתמשים בתוספות קבועות ובין בתוספות אוטומטיות, יש לקבוע את צעד הזמן תוך התחשבות הן בהתכנסות והן בדיוק הנדרש.

אינטגרציה בזמן באנליזה דינמית (שיטה אקספליציטית)¶

השיטה האקספליציטית לניתוח דינמי משתמשת בשיטת ההפרש המרכזי כדי לחשב ישירות את המצב בזמן הבא מתוך מידע על ההזזה, המהירות והתאוצה בזמן הקודם בלבד. מאחר שלא נפתרת מערכת משוואות סימולטנית, עלות החישוב לכל צעד נמוכה. גם כאשר קיימת אי־ליניאריות, כל צעד זמן הוא עדכון חד־שלבי ללא איטרציית Newton.

לצעד הזמן יש גבול עליון הנקבע על ידי תנאי יציבות המבוסס על המחזור העצמי המינימלי של המערכת (תנאי CFL). צעד זמן החורג מגבול זה גורם לפתרון הנומרי להתבדר, ולכן אי אפשר להשתמש בצעדי זמן גדולים כפי שניתן בשיטה האימפליציטית. השיטה האקספליציטית עדיפה לתופעות כגון פגיעה, התפשטות גלים ומגע במהירות גבוהה, שבהן נדרש מטבע הדברים צעד זמן קטן.

כאשר קיים מגע, משתמשים בשיטת Forward Increment Lagrange להחלת אילוצי המגע. כוחות המגע מוערכים באופן התואם לעדכון החד־שלבי של השיטה האקספליציטית.

שיטת פתרון לאנליזת תגובת תדר¶

אנליזת תגובת תדר מחשבת ישירות את התגובה המחזורית במצב יציב בתחום התדר באמצעות שיטת הסופרפוזיציה המודאלית. היא מעריכה את התגובה תוך שינוי תדר העירור, ואין צורך לעקוב אחר היסטוריית זמן באמצעות איטרציות. לא מתבצעות איטרציות לא־ליניאריות ולא אינטגרציה בזמן.

לפני ביצוע אנליזת תגובת תדר יש לבצע אנליזה מודאלית לאותה מערכת ולחלץ את מספר האופנים העצמיים הדרוש. נתמכים רק מודלים ליניאריים; לא ניתן לבצע את הניתוח כאשר מופעלת אי־ליניאריות גאומטרית או חומרית. למיקומו של סוג ניתוח זה ראו סוגי ניתוח.

התקדמות הזמן ואיטרציה לא־ליניארית בהולכת חום חולפת¶

להולכת חום חולפת יש לולאת זמן עצמאית המושלמת בתוך !HEAT. צעד הזמן נשלט במסלול נפרד מ-!STEP ו-!AUTOINC_PARAM של הניתוח המבני, וכאשר תכונות החומר תלויות בטמפרטורה מתבצעת איטרציה לא־ליניארית בתוך כל צעד זמן.

סכמת האינטגרציה בזמן נבחרת באמצעות הפרמטר \(\beta\) של !HEAT.

צעד הזמן נשלט באופן אדפטיבי באמצעות שילוב של צעד הזמן ההתחלתי, צעד הזמן המינימלי והשינוי המרבי בטמפרטורה בכל צעד. אם לאחר חישוב בצעד זמן השינוי בטמפרטורה עולה על DELTMX, צעד הזמן מוקטן והצעד מחושב מחדש. הניתוח מופסק אם צעד הזמן יורד מתחת לצעד הזמן המינימלי DTMIN.

כאשר תכונות החומר תלויות בטמפרטורה, מתבצעת איטרציה לא־ליניארית בתוך כל צעד זמן. בקרת האיטרציה היא כדלקמן.

בהולכת חום במצב יציב לא נעשה שימוש בצעדי זמן; רק איטרציה לא־ליניארית מתבצעת כאשר תכונות החומר תלויות בטמפרטורה. מאחר שבקרת הזמן של אנליזת הולכת חום עצמאית מ-!STEP של הניתוח המבני, יש לבדוק את הגדרות !HEAT בעת כוונון צעד הזמן.

נושאים קשורים¶

• סוגי ניתוח — מיקומו של כל סוג ניתוח.
• מגע ושיבוץ — בחירת סוגי מגע, הגדרות זוגות ואלגוריתמי פתרון.
• פותר וקדם־התניה — פתרון מערכת המשוואות הליניארית הנקראת מתוך איטרציית Newton.
• בקרת צעדים — בקרת צעדים ותת־צעדים חיצונית ותוספות אוטומטיות/cutback.
• שיטת Newton-Raphson (תאוריה) — ניסוח שיטת הפתרון האיטרטיבית.
• קריטריוני התכנסות (תאוריה) — הגדרות מתמטיות של מדדי ההתכנסות.
• שיטות ניתוח דינמי (תאוריה) — ניסוח שיטות Newmark-β והפרש מרכזי.
• אנליזת הולכת חום חולפת (תאוריה) — ניסוח האינטגרציה בזמן עבור הולכת חום.
• אנליזת מגע (תאוריה) — ניסוח שיטת מכפילי Lagrange.
• רפרנס מילות מפתח: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.