אנליזה סטטית אלסטית ליניארית (מבוא)
כאן מוצג הניסוח של אנליזה סטטית אלסטית המבוססת על תורת העיוותים הקטנים. עבור קשר מאמץ־עיבור מניחים אלסטיות ליניארית. פרק זה מיועד כמבוא להבנת התמונה הכוללת של אנליזה מבנית בשיטת האלמנטים הסופיים, והוא בנוי כפרק עצמאי.
לתיאוריה הכללית של עקרון העבודה הווירטואלית (תצורה נוכחית, תצורה התחלתית והפחתה לעיוותים קטנים), ראו עקרון העבודה הווירטואלית; לפרטי חוק החומר האלסטי הליניארי ראו אלסטיות ליניארית; למוסכמות סימון טנזור וייצוג Voigt ראו סימון טנזורי ויסודות מתמטיים; לניסוח הכללי של עיוותים סופיים ראו תנועה, עיוות ועיבור; ולפתרון בעיות לא־ליניאריות ראו מטריצת קשיחות משיקית.
משוואות יסוד
בעיית ערכי השפה במכניקת מוצקים תחת הנחות של עיוותים קטנים ואלסטיות ליניארית מורכבת ממשוואת שיווי משקל, תנאי שפה מכניים ותנאי שפה גאומטריים (תנאי שפה עיקריים) (ראו איור 2.1.1):
\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{בתוך} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{על} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{על} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]
כאן \(\boldsymbol{\sigma}\) הוא מאמץ Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) הוא כוח גוף ליחידת נפח, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) הוא כוח משטח (ערך נתון), \(\overline{\boldsymbol{u}}\) היא הזזה נתונה, ו-\(S_t, S_u\) הם הגבול המכני והגבול הגאומטרי.
איור 2.1.1 בעיית ערכי שפה במכניקת מוצקים (בעיית עיוותים קטנים)
קשר עיבור־הזזה, באמצעות אופרטור הגרדיאנט הסימטרי, הוא
\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]
חוק החומר האלסטי הליניארי הוא
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]
כאשר \(\boldsymbol{C}\) הוא טנזור אלסטיות מסדר רביעי.
עקרון העבודה הווירטואלית
הצורה הכללית של עקרון העבודה הווירטואלית (ייצוג בתצורה הנוכחית, ייצוג בתצורה ההתחלתית והפחתה לעיוותים קטנים) מרוכזת ב-עקרון העבודה הווירטואלית. תחת הנחות של עיוותים קטנים ואלסטיות ליניארית, הצורה החלשה היא
\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{על} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]
ובהצבת חוק החומר \eqref{eq:2.1.5} וכתיבה ב-ייצוג Voigt כ-\(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), מתקבלת הצורה המשמשת ישירות לדיסקרטיזציה
\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]
כאשר \(D\) היא מטריצת האלסטיות של אלסטיות ליניארית. משוואות \eqref{eq:2.1.10} ו-\eqref{eq:2.1.7} הן עקרון העבודה הווירטואלית שאותו מבצעים בדיסקרטיזציה להלן.
דיסקרטיזציה והרכבת המשוואה הגלובלית
דיסקרטיזציה של משוואת עקרון העבודה הווירטואלית \( \eqref{eq:2.1.10} \) לכל אלמנט סופי נותנת:
\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]
בכל אלמנט, שדה ההזזה מאונטרפל באמצעות הזזות הצמתים המרכיבים את האלמנט:
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]
במקרה זה העיבור מתקבל ממשוואה \(\eqref{eq:2.1.4}\) באופן הבא.
\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]
מהצבת משוואות \(\eqref{eq:2.1.12}\) ו-\(\eqref{eq:2.1.13}\) במשוואה \(\eqref{eq:2.1.11}\) מתקבל:
\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]
ניתן לרשום את משוואה \(\eqref{eq:2.1.14}\) בצורה המרוכזת הבאה.
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]
כאן ניתן לחשב לכל אלמנט סופי את רכיבי המטריצה והווקטור המוגדרים במשוואות \(\eqref{eq:2.1.16}\) ו-\(\eqref{eq:2.1.17}\), ולאחר מכן להרכיבם.
\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]
מאחר שמשוואה \(\eqref{eq:2.1.15}\) מתקיימת לכל הזזה וירטואלית \(\delta \boldsymbol{U}\), מתקבל:
\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]
מצד שני, תנאי השפה על ההזזה במשוואה \(\eqref{eq:2.1.3}\) נכתב כך:
\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]
פתרון משוואה \(\eqref{eq:2.1.18}\) תחת אילוץ \(\eqref{eq:2.1.19}\) מאפשר לקבוע את הזזות הצמתים \(\boldsymbol{U}\).
נושאים קשורים