לדלג לתוכן

אלסטיות ליניארית

פרק זה עוסק בחוק הקונסטיטוטיבי (חוק Hooke) של חומרים אלסטיים ליניאריים. לפרטים על בחירת המודל והגדרות הקלט ראו את סעיף הפונקציות 03_material.

התופעה (תגובה אלסטית ליניארית)

גוף אלסטי ליניארי הוא חומר שבתחום שבו העיבורים הנגרמים מהעומס קטנים דיים מתקיים בו קשר ליניארי בין מאמץ לעיבור, והוא מציג תגובה הפיכה ובלתי־תלויה בהיסטוריה שבה העיבור כולו חוזר למצבו המקורי בעת הסרת העומס. בניגוד לפלסטיות או לזחילה, אין בו משתנים פנימיים המייצגים את המצב (כגון עיבור פלסטי או עיבור צמיג), והמאמץ נקבע באופן חד־ערכי רק מן העיבור הנוכחי.

בתחום העיוותים הקטנים משתמשים במאמץ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) ובעיבור האינפיניטסימלי \(\boldsymbol{\varepsilon}\); בתחום העיוותים הסופיים (בעיות הכוללות סיבובים גדולים אך העיבור עצמו קטן) משתמשים במאמץ השני של Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) ובעיבור Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (חומר St.Venant-Kirchhoff).

החוק הקונסטיטוטיבי

חומר אלסטי ליניארי איזוטרופי

בתחום העיוותים הקטנים, חוק Hooke האיזוטרופי נכתב באמצעות קבועי Lamé \(\lambda, \mu\) כך:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

ובכתיב רכיבים:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

וכיווץ כפול עם העיבור נותן \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). קבועי Lamé קשורים למודול Young \(E\) וליחס Poisson \(\nu\) באופן הבא:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

בכתיב Voigt ניתן לכתוב את הקשר בין וקטור העיבור \(\hat{\varepsilon}\) לווקטור המאמץ \(\hat{\sigma}\) כ-\(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), ומטריצת החומר התלת־ממדית \(D\) היא

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(במימוש נעשה שימוש בייצוג מטריציוני זה).

חומר אלסטי ליניארי אורתוטרופי

בחומר שבו הקבועים האלסטיים שונים בכל כיוון ציר ראשי משתמשים במודל אורתוטרופי בעל תשעה קבועים בלתי־תלויים: מודולי Young בכיווני הצירים הראשיים \(E_1, E_2, E_3\), יחסי Poisson בין הצירים הראשיים \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), ומודולי הגזירה \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). לצורה המפורשת של מטריצת \(D\) ראו מקורות עיון כלליים.

תחום העיוותים הסופיים: חומר St.Venant-Kirchhoff

בבעיות הכוללות סיבובים גדולים אך העיבור עצמו קטן משתמשים בחומר St.Venant-Kirchhoff כחוק אלסטי ליניארי המקשר בין המאמץ השני של Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) לעיבור Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

הגדרות קבועי Lamé \(\lambda, \mu\) זהות לאלה של עיוותים קטנים. עם זאת, מאחר שצמד הגדרות המאמץ והעיבור שונה, יש לשים לב שזהו חוק קונסטיטוטיבי שונה מחוק Hooke לעיוותים קטנים.

חומר היפואלסטי

בשיטת Updated Lagrange משתמשים בחוק אלסטי ליניארי בין קצב Jaumann של טנזור המאמץ היחסי של Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) לבין טנזור קצב העיוות \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ומשתמשים בחומר היפואלסטי המבוסס על קשר זה. גם כאן ההגדרה של \(\boldsymbol{C}\) באמצעות קבועי Lamé זהה לזו שלעיל, אך מאחר שצמד המאמץ והעיבור שונה זהו חוק קונסטיטוטיבי אחר. לפרטי עדכון המאמץ \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) באמצעות הליך האינטגרציה בזמן (אינטגרציית Euler קדמית וקירוב הפרשים מרכזיים), ראו tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

צמצום לאנליזה דו־ממדית ולאלמנטי מעטפת

מאמץ מישורי (\(\sigma_{33} = 0\))

במצב מאמץ מישורי, המייצג העמסה של לוחות דקים ומעטפות, מניחים \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ומשתמשים במטריצת \(D\) שבה רכיב העיבור מחוץ למישור \(\varepsilon_{33}\) סולק אלגברית:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

עיבור מישורי (\(\varepsilon_{33} = 0\))

במצב עיבור מישורי, המייצג חתך של מבנה ארוך המוגבל בכיוון העובי, מניחים \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ציר־סימטרי

באנליזה ציר־סימטרית, המטפלת בבעיות אחידות בכיוון \(\theta\) בקואורדינטות גליליות \((r, \theta, z)\), נשמרים ארבעת הרכיבים \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ו-\(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\),

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

ומתקבל.

אלמנטי מעטפת (מאמץ מישורי + גזירה רוחבית)

באלמנטי מעטפת מתייחסים למאמצים במישור כאל מצב מאמץ מישורי, ובנוסף משתמשים ב-\(\kappa\, G\) עם מקדם תיקון הגזירה \(\kappa\) (בדרך כלל \(\kappa = 5/6\)) עבור רכיבי העיבור בגזירה רוחבית \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\). לניסוח המפורט לכל אלמנט ראו ניסוחי אלמנטים מתקדמים. המפרט בסעיף הפונקציות 03_material, שלפיו "אלמנטי מעטפת תומכים רק באלסטיות ליניארית", מבוסס על פישוט זה שבו המצב במישור מטופל כמאמץ מישורי.

תלות בטמפרטורה

מודול Young \(E\), יחס Poisson \(\nu\) ומקדם ההתפשטות הליניארית \(\alpha\) מוגדרים בדרך כלל כפונקציות של הטמפרטורה \(T\). ב-FrontISTR מוזנים ערכים עבור סדרה סופית של נקודות טמפרטורה \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), והערך בטמפרטורה \(T\) במהלך החישוב נקבע באינטרפולציה ליניארית בין נקודות סמוכות. עבור טמפרטורות מחוץ לטווח (\(T < T_1\) או \(T > T_n\)) משתמשים לצורך אקסטרפולציה בערך של נקודת הקצה הקרובה ביותר, \(T_1\) או \(T_n\) (אקסטרפולציה קבועה).

לתלות בטמפרטורה של תכונות תרמיות והולכת חום (צפיפות, קיבול חום סגולי ומוליכות תרמית) ראו תכונות תרמיות. כללי האינטרפולציה משותפים לתכונות אלה.

נושאים קשורים