לדלג לתוכן

היפראלסטיות

פרק זה עוסק בחוקים הקונסטיטוטיביים ההיפראלסטיים שבהם תומך FrontISTR. לפרטים על בחירת מודל והגדרות קלט, ראו את סעיף הפונקציות 03_material.

התופעה (תגובה הפיכה בעיוותים גדולים)

TBD (יורחב לטקסט מלא בשלב הבא).

מסגרת החוק הקונסטיטוטיבי

עבור חומר היפראלסטי איזוטרופי, אנרגיית הפוטנציאל האלסטית מתקבלת מתגובה איזוטרופית מן המצב ההתחלתי חסר־המאמצים, וניתן לבטא אותה כפונקציה של האינווריאנטים הראשיים \((I_1, I_2, I_3)\) של טנזור העיוות הימני Cauchy-Green ‏\(C\), או של האינווריאנטים הראשיים \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) של טנזור העיוות לאחר הסרת שינוי הנפח, כלומר \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) או \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

החוק הקונסטיטוטיבי של חומר היפראלסטי מוגדר באמצעות הקשר בין מאמץ Piola-Kirchhoff השני לבין עיבור Green-Lagrange, ולניתוח העיוות מיושמת שיטת Total Lagrange.

לאחר שאנרגיית הפוטנציאל האלסטית \(W\) ידועה, ניתן לחשב את מאמץ Piola-Kirchhoff השני ואת קשר מאמץ־עיבור כך:

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

להלן מפורטות אנרגיות הפוטנציאל האלסטיות \(W\) של המודלים ההיפראלסטיים שבהם משתמש FrontISTR.

מודל היפראלסטי Neo-Hookean

המודל ההיפראלסטי Neo-Hookean הוא הרחבה של חוק ליניארי איזוטרופי (חוק Hooke) כך שניתן להחילו על בעיות של עיוותים גדולים. הפוטנציאל האלסטי שלו הוא כדלקמן.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

כאן \(C_{10}\) ו-\(D\) הם קבועי חומר.

מודל היפראלסטי Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

כאן \(C_{10}\), \(C_{01}\) ו-\(D\) הם קבועי חומר.

מודל היפראלסטי אנאיזוטרופי Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

כאן \(C_{10}\), \(C_{01}\) ו-\(D\) הם קבועי חומר המשותפים למודל האיזוטרופי, ואילו \(C_{42}\) ו-\(C_{43}\) הם קבועי חומר הייחודיים לאנאיזוטרופיה.

מודל היפראלסטי Arruda-Boyce

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

כאן \(\mu_0\), \(\lambda_m\) ו-\(D\) הם קבועי חומר.

נושאים קשורים