אלסטו־פלסטיות¶

פרק זה עוסק במסגרת החוק הקונסטיטוטיבי האלסטו־פלסטי שבה משתמש FrontISTR. לפרטים על בחירה בין המודלים והגדרות הקלט ראו את סעיף הפונקציות 03_material.

התופעה (דפורמציה פלסטית)¶

TBD (ייכתב בשלב הבא).

מסגרת החוק הקונסטיטוטיבי¶

FrontISTR משתמש במשוואה קונסטיטוטיבית אלסטו־פלסטית המבוססת על כלל זרימה אסוציאטיבי. כמו כן, המשוואה הקונסטיטוטיבית מתארת את הקשר בין קצב Jaumann של מאמץ Kirchhoff לבין טנזור קצב העיוות, ובאנליזת הדפורמציה מיושמת שיטת updated Lagrange.

נניח שתנאי הכניעה של חומר אלסטו־פלסטי נתון כדלהלן.

תנאי הכניעה ההתחלתי:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

תנאי הכניעה העוקב:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

כאשר

\(F\): פונקציית כניעה
\(\sigma_{y_0}\): מאמץ כניעה התחלתי
\(\sigma_y\): מאמץ כניעה עוקב
\(\sigma\): טנזור מאמץ
\(e\): טנזור עיבור אינפיניטסימלי
\(e^p\): טנזור עיבור פלסטי
\(\overline{e}^p\): עיבור פלסטי שקול

מניחים שהקשר בין מאמץ הכניעה לעיבור הפלסטי השקול זהה לקשר בין מאמץ לעיבור פלסטי במצב חד־צירי.

הקשר בין מאמץ לעיבור פלסטי במצב חד־צירי

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

כאשר \(H'\) הוא מודול הקשיית העיבור.

הקשר בין מאמץ שקול לעיבור פלסטי שקול

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

באופן כללי פונקציית הכניעה העוקבת היא פונקציה של הטמפרטורה ושל עבודת העיבור הפלסטי, אך לצורך פישוט מניחים כאן שהיא פונקציה רק של העיבור הפלסטי השקול \(\overline{e}^p\). במהלך התקדמות הדפורמציה הפלסטית חייב להתקיים כל העת \(F = 0\), ולכן המשוואה הבאה חייבת להתקיים.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

כאן \(\dot{F}\) מציין את הנגזרת בזמן של \(F\). מכאן ואילך נסמן את הנגזרת בזמן של גודל \(A\) באמצעות \(\dot{A}\).

נניח כעת שקיים פוטנציאל פלסטי \(\Theta\), ונבטא את קצב העיבור הפלסטי באמצעות המשוואה הבאה.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

כאן \(\dot{\lambda}\) הוא מקדם.

בנוסף, בהנחה שהפוטנציאל הפלסטי \(\Theta\) שווה לפונקציית הכניעה \(F\), מאמצים את כלל הזרימה האסוציאטיבי הבא.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

הצבת משוואה זו בתנאי העקביות נותנת את המשוואה הבאה.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

כאן \(D\) היא מטריצת האלסטיות, ו-

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

ניתן לכתוב את קשר המאמץ־עיבור האלסטו־פלסטי כדלהלן.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

אם פונקציית הכניעה \(F\) של החומר האלסטו־פלסטי ידועה, ניתן לקבל ממשוואה זו את החוק הקונסטיטוטיבי שלו.

פונקציות כניעה¶

להלן מפורטות פונקציות הכניעה האלסטו־פלסטיות שבהן משתמש FrontISTR.

פונקציית הכניעה Von Mises¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

כאן \(J_2\) הוא האינווריאנט השני של טנזור המאמץ הדביאטורי.

פונקציית הכניעה Mohr-Coulomb¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

כאן \(\sigma_1, \sigma_3\) הם המאמצים הראשיים המרבי והמזערי, \(c\) היא הקוהזיה ו-\(\phi\) היא זווית החיכוך הפנימי.

פונקציית הכניעה Drucker-Prager¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

כאן קבועי החומר \(\alpha\) ו-\(\sigma_y\) מחושבים מן הקוהזיה ומזווית החיכוך של החומר באופן הבא.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

נושאים קשורים¶

אלסטיות ליניארית — תגובה אלסטית (החלק האלסטי של אלסטו־פלסטיות)
מטריצת קשיחות משיקית — קשיחות משיקית באנליזה אינקרמנטלית הכוללת אי־ליניאריות חומרית
נתוני חומר (פונקציות) — אפשרויות ובחירה של פונקציות כניעה וחוקי הקשיה