לדלג לתוכן

זחילה

פרק זה עוסק בחוק הקונסטיטוטיבי לזחילה שבו משתמש FrontISTR. לפרטים על בחירה והגדרות קלט, ראו את סעיף הפונקציות 03_material.

תופעת הזחילה ופירוק אדיטיבי של העיבור

הזזה התלויה בזמן תחת מצב של מאמץ קבוע נקראת "זחילה".

ניתן לראות גם בהתנהגות הוויסקו־אלסטית שתוארה לעיל סוג של תופעת זחילה ליניארית. כאן מתוארות כמה התנהגויות זחילה לא־ליניאריות. בדרך כלל מנסחים את החוק הקונסטיטוטיבי על ידי הוספת התנהגות זו לעיבור המתרחש באופן מיידי, ומגדירים את העיבור המצטבר במשך עומס קבוע נתון כעיבור הזחילה \(\varepsilon^c\). חוק קונסטיטוטיבי הכולל זחילה מבוטא בדרך כלל באמצעות קצב עיבור הזחילה \(\dot{\varepsilon}^c\), המוגדר כפונקציה של המאמץ ושל עיבור הזחילה הכולל.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

אם העיבור המתרחש באופן מיידי הוא העיבור האלסטי \(\varepsilon^e\), העיבור הכולל נכתב כסכום הבא הכולל את עיבור הזחילה.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

כאשר

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) הוא טנזור האלסטיות).

חוק Norton

כצורה מסוימת של חוק קונסטיטוטיבי לזחילה, FrontISTR משתמש במודל Norton הבא. בחוק זה, קצב עיבור הזחילה השקול \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) מבוטא כפונקציה של מאמץ von Mises \(q\) ושל הזמן \(t\) כפי שמוצג להלן.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

כאן \(A\), \(m\) ו-\(n\) הם קבועי חומר.

אינטגרציה בזמן ועדכון מאמץ

בדומה לחומרים פלסטיים, עבור חוק קונסטיטוטיבי המתאר זחילה יש להגדיר שיטת אינטגרציה בזמן לצורך החישוב הנומרי. החוק הקונסטיטוטיבי כאשר מתחשבים בזחילה הוא

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

כאן \(\beta_{n+\theta}\) הוא

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

וכן, תוספת עיבור הזחילה \(\Delta \varepsilon^c\) מוגדרת באמצעות המשוואה הלא־ליניארית המפושטת

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

ונקבעת לאפס.

באיטרציות של שיטת Newton-Raphson, כאשר ערך ההתחלה הוא \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) ומשתמשים בתוספת העיבור המתקבלת משיטת האלמנטים הסופיים, הפתרון האיטרטיבי והתוספת ניתנים על ידי

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

כאשר

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

ומוגדרים כך. כאשר מבצעים איטרציה עד שהשארית \(R\) נעשית \(\mathbf{0}\), משתמשים במאמץ \(\sigma_{n+1}\) ובמודול המשיק

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

הבאים.

נושאים קשורים