לדלג לתוכן

פונקציות צורה וקירוב באלמנטים סופיים

כדי לטפל חישובית בצורה החלשה של עקרון העבודה הווירטואלית, מחלקים את תחום הגוף למספר סופי של אלמנטים, ומקרבים את קואורדינטות נקודות החומר, ההזזה ופונקציית המבחן בתוך כל אלמנט באמצעות ערכי הצמתים ופונקציות הצורה. הנגזרות המרחביות של פונקציות הצורה נדונות ב-נגזרות מרחביות של פונקציות צורה, דיסקרטיזציית הצורה החלשה ב-דיסקרטיזציה של העבודה הווירטואלית הפנימית, והצורות הספציפיות של פונקציות הצורה לכל סוג אלמנט ב-מערכת מספור האלמנטים וספריית פונקציות הצורה ובסעיפים שאחריו.

חלוקת התחום וסכומי אינטגרלים לפי אלמנטים

התחום \(\Omega_0\) בתצורת הייחוס והתחום \(\Omega\) בתצורה הנוכחית מקורבים בהתאמה כאיחוד האלמנטים \(\Omega^e_0\) ו-\(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) הוא מספר האלמנט, וגבולות האלמנטים משותפים לאלמנטים סמוכים). כך מתפרקים אינטגרלי הנפח והשטח ב-עקרון העבודה הווירטואלית לסכומים של אינטגרלים על אלמנטים בודדים:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(אותו הדבר חל על התצורה הנוכחית בהחלפות \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), ו-\(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). מכאן ואילך, הערכת הצורה החלשה מצטמצמת לבניית אינטגרלים ברמת האלמנט.

אינטרפולציה באמצעות ערכי צמתים ופונקציות צורה (אלמנטים איזופרמטריים)

לכל אלמנט \(\Omega^e_0\) מוקצים \(n_e\) צמתים. נסמן את קואורדינטות תצורת הייחוס ואת הזזות הצמתים של צומת האלמנט \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) ב-\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). וקטורי צמתי האלמנט \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) ו-\(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\), המתקבלים מסידור ערכים אלה, מכילים רק את רכיבי הצמתים המרכיבים את אלמנט \(e\), שנשלפו מווקטורי הצמתים הכוללים \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (כאשר \(n_g\) הוא מספר הצמתים הכולל).

באמצעות הקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r}\), שהן הקואורדינטות המקומיות בתוך האלמנט, כפרמטרים, פונקציות הצורה \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) מבצעות אינטרפולציה של קואורדינטות החומר, ההזזה ופונקציית המבחן בתוך האלמנט באמצעות אותן פונקציות צורה (אלמנט איזופרמטרי ושיטת Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

פונקציות הצורה נבנות כך שיקיימו את שתי התכונות הבאות, וגאומטריית האלמנט נבחרת כך שהמיפוי \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) מקואורדינטות טבעיות לקואורדינטות חומר יהיה חד־חד־ערכי בתוך האלמנט:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) היא הנקודה בקואורדינטות טבעיות המתאימה לצומת \(\alpha\), ו-\(\delta_{\alpha\beta}\) היא דלתא של Kronecker). המשוואה הראשונה מבטיחה שחזור של הזזה קשיחה, והשנייה מבטיחה שהערך המאונטרפל שווה לערך הצומת בצומת. הצורות הספציפיות של \(n_e\) ו-\(N_\alpha^e\) לכל סוג אלמנט מובאות ב-מערכת מספור האלמנטים וספריית פונקציות הצורה ובסעיפים שאחריו. כדי להימנע מסימון מסורבל, התלות בסוג האלמנט מיוצגת באמצעות הכתב העילי \(e\) לכל אלמנט.

לפי כללי האינטרפולציה לעיל, ניתן לבטא את האינטגרנד של הצורה החלשה אך ורק באמצעות ערכי צמתי האלמנט \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) ו-\(N_\alpha^e\). לעומת זאת, העיבור נגזר מן ההזזה המאונטרפלת ומ-יחס העיבור־הזזה, והמאמץ נגזר מאותו עיבור ומ-החוק הקונסטיטוטיבי של החומר; כמויות אלה אינן מאונטרפלות ישירות מערכי הצמתים. הן מוערכות בנקודות האינטגרציה בתוך האלמנט (אינטגרציה נומרית).

כלל הסידור של וקטורי הצמתים הכוללים

גדלים פיזיקליים המוקצים לצמתים מסודרים בווקטור הצמתים הכולל בסדר עולה של מספר צומת → דרגת חופש. אם רכיב דרגת החופש \(i\) בצומת \(\alpha\) מסומן ב-\(u_{i\alpha}\), אז בתלת־ממד (\(i=1,2,3\)) ובדו־ממד (\(i=1,2\)) בהתאמה,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

הקואורדינטות \(\boldsymbol{X}^n\) ופונקציית המבחן \(\delta\boldsymbol{u}^n\) מצייתות לאותו סדר. מכאן ואילך, גזירות בצורת מטריצה ווקטור נכתבות עבור המקרה התלת־ממדי כמקרה המייצג.

נושאים קשורים