לדלג לתוכן

נגזרות מרחביות של פונקציות צורה

פונקציות הצורה \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) שהוצגו ב-פונקציות צורה וקירוב באלמנטים סופיים נתונות כפונקציות של הקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r}\), שהן הקואורדינטות המקומיות של האלמנט. לעומת זאת, דרך קשר העיבור־הזזה מופיעות באינטגרנדים של הצורה החלשה נגזרות חלקיות ביחס לקואורדינטות הפיזיקליות (תצורת הייחוס \(\boldsymbol{X}\) או התצורה הנוכחית \(\boldsymbol{x}\)), כלומר \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) או \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). פרק זה מסכם את התהליך לחישוב הנגזרות המרחביות של פונקציות הצורה מתוך קואורדינטות צמתי האלמנט והנגזרות ביחס לקואורדינטות הטבעיות.

ביטוי הנגזרות המרחביות באמצעות כלל השרשרת

בהחלת כלל השרשרת על נוסחת האינטרפולציה \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (הפרק הקודם), ובאמצעות מטריצת היעקוביאן \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) של ההזזה מן הקואורדינטות הטבעיות לקואורדינטות הפיזיקליות, מתקבל

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

כאן \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ו-\(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) הן מטריצות בגודל \(n_e \times 3\), שבהן שורה \(\alpha\) מייצגת את וקטור הנגזרות החלקיות עבור צומת \(\alpha\).

בניית מטריצת היעקוביאן

גזירת נוסחת האינטרפולציה לפי \(\boldsymbol{r}\) נותנת

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

ולכן ניתן לבנות אותה ישירות מקואורדינטות צמתי האלמנט \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ומהנגזרות בקואורדינטות הטבעיות \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). הנגזרות בקואורדינטות הטבעיות נקבעות מצורת פונקציות הצורה וממומשות מראש לכל סוג אלמנט.

הדטרמיננטה של מטריצת היעקוביאן \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) משמשת ב-אינטגרציה נומרית להמרת אלמנט הנפח \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). אם הדטרמיננטה היא \(0\), האלמנט מנוון והחישוב נכשל.

זרימת החישוב

מן הגזירה שלעיל, ניתן לחלק את חישוב הנגזרות המרחביות \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) לארבעה שלבים.

  1. חישוב נגזרות בקואורדינטות טבעיות: מתוך סוג האלמנט והקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r}\) של נקודת ההערכה, מחשבים את מטריצת הנגזרות \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). מאחר שצורת פונקציות הצורה שונה בין סוגי אלמנטים, החישוב מסתעף לפי סוג האלמנט.
  2. חישוב מטריצת היעקוביאן: מקואורדינטות צמתי האלמנט \(\boldsymbol{X}^e\) ומהמטריצה \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), מרכיבים את מטריצת היעקוביאן \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) לפי המשוואה בסעיף הקודם.
  3. חישוב המטריצה ההפוכה והדטרמיננטה: מחשבים את המטריצה ההפוכה \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ואת הדטרמיננטה של מטריצת היעקוביאן. הדטרמיננטה משמשת במשקל האינטגרציה הנומרית.
  4. חישוב נגזרות מרחביות: מכפלת \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ב-\((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) נותנת את הנגזרות המרחביות \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\).

ארבעת השלבים הללו מסתעפים לפי סוג האלמנט והממד המרחבי (דו־ממדי או תלת־ממדי), אך הזרימה הכוללת משותפת.

טיפול משותף בתצורת הייחוס ובתצורה הנוכחית

ניתן להחיל את התהליך שלעיל גם על הנגזרות המרחביות \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) בתצורה הנוכחית פשוט על ידי החלפת \(\boldsymbol{X}^e\) בקואורדינטות הצמתים הנוכחיות \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\). לכן ניתן להשתמש באותו תהליך הן בניסוח Total Lagrange והן בניסוח Updated Lagrange, תוך החלפת קואורדינטות הצמתים המשמשות כקלט בלבד.

נושאים קשורים