לדלג לתוכן

דיסקרטיזציה של העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים

משוואת העבודה הווירטואלית בזמן \(t + \Delta t\) שהוצגה ב-מסגרת האנליזה האינקרמנטלית מתחלקת לשני ניסוחים לפי בחירת תצורת הייחוס: Updated Lagrange ו-Total Lagrange. בפרק זה מבצעים דיסקרטיזציה מרחבית של עבודת הכוחות הפנימיים בשני הניסוחים באמצעות קירוב האלמנטים הסופיים שהוצג ב-פונקציות צורה וקירוב באלמנטים סופיים וב-נגזרות מרחביות של פונקציות צורה, ומקבלים את וקטורי הכוח הפנימי האלמנטריים \(\boldsymbol{q}^e\) (שיטת UL) ו-\(\boldsymbol{Q}^e\) (שיטת TL).

נסמן את ההזזה בצומת המרכיב \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) של אלמנט \(e\) ב-\(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), ונסדר את וקטור הזזות צמתי האלמנט כ-\(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). ההזזה הווירטואלית \(\delta \boldsymbol{u}^e\) מוגדרת באותו סדר. ההזזה בתוך האלמנט מאונטרפלת באמצעות פונקציות הצורה כ-\(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים בשיטת Updated Lagrange

בשיטת Updated Lagrange משתמשים בתצורה הנוכחית \({}^{t}\Omega\) בזמן \(t\) כתצורת הייחוס, וכותבים את העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים באמצעות מאמץ Cauchy‏ \(\boldsymbol{\sigma}\) והחלק הליניארי של עיבור Almansi‏ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) כ-

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

כל רכיב של \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) ניתן לביטוי כצירוף ליניארי של הנגזרת \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) של פונקציית הצורה לפי קואורדינטות התצורה הנוכחית \(\boldsymbol{x}\) ושל ההזזה הווירטואלית הצומתית \(\delta u^e_{i\alpha}\). בייצוג Voigt ניתן לכתוב

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

בלוק הצומת \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) הוא מטריצה בגודל \(6 \times 3\) שבה \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) מסודרות לפי מוסכמת Voigt, ו-\(\boldsymbol{B}_L\) היא מטריצת קשר עיבור־הזזה של שיטת UL. הצבתה בעבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים והפרדת \(\delta \boldsymbol{u}^e\) נותנות

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

בלוק הצומת \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) של \(\boldsymbol{q}^e\) הוא הכוח הפנימי הפועל על הצומת המרכיב \(\alpha\) של האלמנט \(\Omega^e\).

העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים בשיטת Total Lagrange

בשיטת Total Lagrange משתמשים בתצורה הבסיסית \(\Omega_0\) כתצורת הייחוס, ובעזרת מאמץ Piola-Kirchhoff השני \(\boldsymbol{S}\) ועיבור Green-Lagrange‏ \(\boldsymbol{E}\) כותבים

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) מתחלק לאיבר ליניארי ביחס להזזה הווירטואלית ולאיבר לא־ליניארי הכולל מכפלה בגרדיאנט ההזזה הנוכחי \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

את האיבר הליניארי ניתן לכתוב באמצעות בלוקי הצומת \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), המתקבלים מהחלת אותה מוסכמת סידור כמו בשיטת UL על \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), כך:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(בשל ההבדל בתצורת הייחוס, רק הרכיבים מוחלפים מ-\(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ל-\(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), והסימון משותף לשיטת UL). את האיבר הלא־ליניארי ניתן לכתוב בעזרת בלוקי הצומת \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), שבהם המכפלות של גרדיאנט ההזזה הנוכחי \(\partial u_k/\partial X_j\) ושל \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) מסודרות לפי מוסכמת Voigt:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

מכאן \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), ולכן \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) היא מטריצת קשר עיבור־הזזה של שיטת TL. הצבה בעבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים נותנת

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

בלוק הצומת \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) הוא הכוח הפנימי הפועל על הצומת המרכיב \(\alpha\) של האלמנט \(\Omega^e_0\).

ההתאמה בין UL/TL וזרימת החישוב

וקטורי הכוח הפנימי האלמנטריים בשיטות Updated Lagrange ו-Total Lagrange מתאימים זה לזה כדלהלן.

פריט שיטת Updated Lagrange שיטת Total Lagrange
תצורת ייחוס התצורה הנוכחית \({}^{t}\Omega^e\) התצורה הבסיסית \(\Omega^e_0\)
טנזור מאמץ מאמץ Cauchy‏ \(\boldsymbol{\sigma}\) מאמץ PK שני \(\boldsymbol{S}\)
וריאציית עיבור \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
מטריצת B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\),‏ \(\partial u/\partial X\))
כוח פנימי אלמנטרי \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

בשתי השיטות ניתן להשתמש באותו הליך: בניית \(\boldsymbol{B}_L\) מן הנגזרות המרחביות של פונקציות הצורה; בשיטת TL בניית \(\boldsymbol{B}_{NL}\) מגרדיאנט ההזזה הנוכחי והוספתה; עדכון המאמץ (\(\boldsymbol{\sigma}\) או \(\boldsymbol{S}\)) לפי חוק החומר; וביצוע אינטגרציה נומרית בנקודות האינטגרציה של \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) או \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) על תחום האלמנט. מלבד החלפת תצורת הייחוס (קואורדינטות הצמתים ובניית מטריצת \(\boldsymbol{B}\)) והחלפת טנזור המאמץ, התהליך משותף, ולכן FrontISTR מממש את חישוב הכוח הפנימי בשתי השיטות באמצעות תת־שגרות משותפות. הרכבת וקטורי הכוח הפנימי האלמנטריים \(\boldsymbol{q}^e\),‏ \(\boldsymbol{Q}^e\) לווקטור הכוח הפנימי הגלובלי מתוארת ב-עבודה וירטואלית של הכוחות החיצוניים והרכבת המשוואה הגלובלית.

נושאים קשורים