לדלג לתוכן

עבודה וירטואלית של כוחות חיצוניים והרכבת המשוואות הכוללות

ב-דיסקרטיזציה של העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים, אגף שמאל של הצורה החלשה צומצם לווקטור הכוח הפנימי האלמנטרי \(\boldsymbol{q}^e\) (שיטת UL) או \(\boldsymbol{Q}^e\) (שיטת TL). פרק זה מגדיר את וקטור הכוח החיצוני בצמתי האלמנט \(\boldsymbol{F}^e\) מתוך העבודה הווירטואלית של הכוחות החיצוניים, ולאחר מכן מחיל את פעולת ההרכבה, המסדרת מחדש וצוברת גדלים בצמתי האלמנטים לפי מספר הצומת הכולל, עד לקבלת מערכת המשוואות הלא־ליניארית בהזזות הצמתים שנפתרת בניתוח המבני הלא־ליניארי של FrontISTR.

פירוק העבודה הווירטואלית של הכוחות החיצוניים לפי אלמנטים

ניתן לפרק את אגף ימין של עקרון העבודה הווירטואלית לפי אלמנטים לעבודה וירטואלית של כוחות חיצוניים, הכוללת כוחות גוף וכוחות שטח נתונים על שפות מכניות. כדי לכתוב בצורה מטריציונית את אינטרפולציית ההזזה שהוצגה ב-פונקציות צורה וקירוב באלמנטים סופיים, נשתמש בבלוק \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), שבו פונקציית הצורה \(N_\alpha^e\) של צומת \(\alpha\) מסודרת על האלכסון, וב-\(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) המתקבל מסידור הבלוקים לרוחב, כך ש-\(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). הצבה בעבודה הווירטואלית של הכוחות החיצוניים הכתובה בתצורת הייחוס נותנת

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

כאשר וקטור הכוח החיצוני בצמתי האלמנט מסודר כ-\(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). לפיכך העבודה הווירטואלית של הכוחות החיצוניים מצטמצמת לאותה צורה של "וקטור צמתי אלמנט × פונקציית מבחן" כמו בצד הכוחות הפנימיים (כאשר כותבים בתצורה הנוכחית, מתקבלת אותה צורה באמצעות ההחלפות \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), ו-\(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

הרכבת גדלים בצמתי האלמנטים

הגדלים הצומתיים \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) שהתקבלו לכל אלמנט נצברים לווקטורים כוללים המסודרים לפי מספר הצומת הכולל. נסמן את מספר הצומת הכולל המתאים למספר הצומת המקומי \(\alpha\) של האלמנט \(\Omega^e\) ב-

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

אז גודל צומתי של אלמנט זהה לרכיב המתאים של הגודל הצומתי הכולל (למשל, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). מאחר שצומת \(i_g\) משותף בדרך כלל למספר אלמנטים, נגדיר את קבוצת הזוגות \((e, \alpha)\) שמספר הצומת הכולל שלהם הוא \(i_g\) כ-

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

שכתוב הסכום באמצעות קבוצה זו כ-\(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) נותן את הכוח הפנימי הצומתי ואת וקטור הכוח הפנימי הכולל עבור כל \(n_g\) הצמתים:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

כאן \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) הוא השקול של הכוחות הפנימיים האלמנטריים הפועלים בצומת \(i_g\), והוא \(\boldsymbol{0}\) כאשר אין כוח חיצוני ופועל שיווי משקל. אותו הליך בשיטת UL נותן \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); מאחר שערכיהם המספריים מקיימים \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), להלן נעשה שימוש בסימון \(\boldsymbol{Q}\) למעט כאשר נדרשת הבחנה. וקטור הכוח החיצוני הכולל \(\boldsymbol{F}\) מתקבל באותה צבירה.

במימוש, הקבוצה \(\mathcal{E}(i_g)\) אינה נבנית במפורש; במקום זאת, התרומות מתווספות לרכיבים המתאימים בתוך לולאת האלמנטים.

אתחל את וקטור הכוח הפנימי הכולל Q ל-0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (מספר האלמנטים)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

וקטור הכוח החיצוני הכולל \(\boldsymbol{F}\) נבנה באותו הליך. פעולה זו של הוספה ואחסון של גדלים בצמתי האלמנט בתוך וקטורים ומטריצות הממוספרים לפי מספרי הצמתים הכוללים נקראת הרכבה. עבור טנזורים מסדר שני הקשורים לשני מספרי צמתים (כגון מטריצות קשיחות), מתקבלת הרכבה דומה באמצעות הקבוצה \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{וגם}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (לבנייה המפורטת ראו מטריצת הקשיחות המשיקית).

משוואות לא־ליניאריות לפתרון

הצבת הכוחות הפנימיים והחיצוניים לאחר ההרכבה ב-עקרון העבודה הווירטואלית, והשימוש בכך שהוא מתקיים לכל פונקציית מבחן \(\delta\boldsymbol{u}^n\) המקיימת את תנאי השפה הגאומטריים, נותנים

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

בהקשר של ניתוח אינקרמנטלי (מסגרת לניתוח אינקרמנטלי), נשחזר את האינדקס הזמני \(_{n+1}\) ונשמיט את הכתב העילי \(^n\) המציין וקטור צמתים כולל. אז המשוואה שיש לפתור היא

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

לפיכך בעיית השפה לאחר דיסקרטיזציה, של מציאת ההזזה הצומתית \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) בזמן \(t_{n+1}\), מצטמצמת לפתרון משוואה לא־ליניארית זו בהזזה יחד עם תנאי השפה הגאומטריים. לינאריזציה של המשוואה ובניית מטריצת הקשיחות המשיקית מתוארות ב-מטריצת הקשיחות המשיקית, ושיטת הפתרון האיטרטיבית ב-שיטת Newton-Raphson.

נושאים קשורים