לדלג לתוכן

אינטגרציה נומרית

וקטורי הכוח הפנימי של האלמנט \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ומטריצת הקשיחות של האלמנט \(\boldsymbol{K}^e\), שהתקבלו בדיסקרטיזציה של העבודה הווירטואלית הפנימית ובעבודה וירטואלית של כוחות חיצוניים והרכבת המשוואה הכוללת, נכתבים כאינטגרלים על תחום האלמנט \(\Omega^e\) או \(\Omega^e_0\). FrontISTR מעריך אותם נומרית באמצעות נוסחת האינטגרציה של Gauss.

נוסחת האינטגרציה של Gauss והחלפת משתנים

נוסחת האינטגרציה של Gauss מקרבת אינטגרל על התחום הסטנדרטי \(\Xi\) באמצעות צירוף ליניארי של ערכי האינטגרנד בנקודות האינטגרציה \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ושל המשקלים \(w_i\). היישום על תחום האלמנט \(\Omega^e\) כרוך בהחלפת משתנים באמצעות ההעתקה \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\),

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

כאשר \(n_q\) הוא מספר נקודות האינטגרציה ו-\(J_{\xi_i}\) הוא הדטרמיננטה של מטריצת היעקוביאן של ההעתקה. התחום הסטנדרטי \(\Xi\) נקבע לכל סוג אלמנט (בהקסהדר: \([-1,1]^3\); ובמשולש, טטראהדר וטריז: צורות הייחוס המתאימות), ונקודות האינטגרציה \(\boldsymbol{\xi}_i\) והמשקלים \(w_i\) ניתנים כטבלאות מספריות. גם אינטגרלי שטח מטופלים באותה צורה באמצעות העתקת פאת האלמנט מתחום ייחוס דו־ממדי.

להלן מספרים אופייניים של נקודות אינטגרציה שבהם משתמש FrontISTR (להתאמה לסוגי האלמנטים ראו מערכת מספור האלמנטים וספריית פונקציות הצורה).

סוג אלמנט נוסחת אינטגרציה מספר נקודות אינטגרציה
טטראהדר בעל 4 צמתים (tet4n) נוסחת נקודה אחת 1
טטראהדר בעל 10 צמתים (tet10n) נוסחת 4 נקודות 4
מנסרה משולשת בעלת 6 צמתים (prism6n) נוסחת 2 נקודות 2
מנסרה משולשת בעלת 15 צמתים (prism15n) נוסחת 9 נקודות 9
הקסהדר בעל 8 צמתים (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
הקסהדר בעל 20 צמתים (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
מרובע בעל 4 צמתים (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
מרובע בעל 8 צמתים (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
משולש בעל 3 צמתים (tri3n) נוסחת נקודה אחת 1
משולש בעל 6 צמתים (tri6n) נוסחת 3 נקודות 3

באלמנטים הקסהדרליים, מרובעים וקוויים משתמשים במכפלה טנזורית של נוסחת Gauss-Legendre בכל כיוון צירים. במשולשים, טטראהדרים ומנסרות משולשות משתמשים בנוסחאות ייעודיות המתאימות לצורות סימפלקס (סידורי נקודות המבצעים אינטגרציה מדויקת של פולינומים על המשולש עצמו).

יישום לאינטגרציה באלמנט

באינטגרציה באלמנט, הקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r}\) משמשות כקואורדינטות של התחום הסטנדרטי (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), וההעתקה לקואורדינטות הפיזיקליות מתקבלת מאינטרפולציה של קואורדינטות הצמתים באמצעות פונקציות הצורה. בהתאם לבחירת תצורת הייחוס (מסגרת האנליזה האינקרמנטלית), משתמשים בניסוחים הבאים.

שיטת Total Lagrange (אינטגרציה בתצורת הייחוס \(\Omega^e_0\)): ההעתקה והיעקוביאן ניתנים על ידי

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ואת הכוח הפנימי ומטריצת הקשיחות של האלמנט מקרבים כ-

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

כל הגדלים \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) מחושבים בנקודת האינטגרציה \(\boldsymbol{r}_i\).

שיטת Updated Lagrange (אינטגרציה בתצורה הנוכחית \(\Omega^e\)): ההעתקה והיעקוביאן ניתנים על ידי

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

ואז

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

מתקבלים בקירוב.

ההבדל היחיד בין שני הניסוחים הוא אם קואורדינטות הצמתים המסופקות להעתקה הן \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) או \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); נקודות האינטגרציה, המשקלים ומבנה לולאת נקודות האינטגרציה משותפים.

אינטגרציה מלאה ואינטגרציה מופחתת

אינטגרציה המשתמשת במספר נקודות המספיק כדי לבצע אינטגרציה מדויקת של דרגת הפולינום של האינטגרנד נקראת אינטגרציה מלאה, ואילו אינטגרציה המשתמשת ברמה אחת פחות של נקודות אינטגרציה נקראת אינטגרציה מופחתת. אינטגרציה מופחתת משמשת להקלה על נעילת גזירה ונעילה נפחית, אך מחייבת טיפול במצבי עיוות מדומים כגון מצבי שעון חול. מספר נקודות האינטגרציה לכל סוג אלמנט והבחירה בין אינטגרציה מלאה למופחתת נדונים במערכת מספור האלמנטים וספריית פונקציות הצורה ובסעיפים שלאחריה, וכן בניסוחי אלמנטים מתקדמים.

נושאים קשורים