לדלג לתוכן

פונקציות הצורה של אלמנטים מוצקים תלת־ממדיים

פרק זה מרכז את מערכות הקואורדינטות הטבעיות ואת הצורות המפורשות של פונקציות הצורה \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), שהוצגו ב-פונקציות צורה וקירוב באלמנטים סופיים, עבור האלמנטים המוצקים התלת־ממדיים שבהם FrontISTR משתמש באנליזת רצף. נכללים שישה סוגים: טטראהדר מסדר ראשון/שני (341, 342), מנסרה משולשת מסדר ראשון/שני (351, 352) והקסהדר מסדר ראשון/שני (361, 362). לסדר הצמתים ולמספרי הפאות בפורמט רשת HEC-MW, ראו ספריית האלמנטים ברפרנס הפונקציות.

הליך בניית האינטגרציה האלמנטרית מפונקציות צורה אלה ומהדטרמיננטה של מטריצת יעקובי מתואר ב-אינטגרציה נומרית. ניסוחי B-bar,‏ F-bar ואלמנט בלתי־תואם של 361 וכן פונקציות הצורה של אלמנטי קורה ומעטפת מתוארים ב-ניסוחי אלמנטים מתקדמים.

מערכות קואורדינטות טבעיות וסידור הצמתים הפנימי

פונקציות הצורה מוגדרות על הקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r}\) של כל אלמנט. באלמנטים מוצקים תלת־ממדיים נעשה שימוש בשלוש מערכות הקואורדינטות הטבעיות הבאות, בהתאם לצורת האלמנט.

  • הקסהדר (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\),‏ \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • טטראהדר (341, 342): קואורדינטות נפח \((L_1, L_2, L_3, L_4)\),‏ \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\),‏ \(L_i \ge 0\). המשתנים הבלתי־תלויים הם \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), ו-\(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • מנסרה משולשת (351, 352): משלבים את קואורדינטות הנפח \((\xi, \eta)\) של משולש הבסיס (\(0 \le \xi, \eta\),‏ \(\xi + \eta \le 1\)) עם הקואורדינטה הצירית \(\zeta \in [-1, 1]\) לקבלת \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). הכמות העזר \(a = 1 - \xi - \eta\) משמשת כקואורדינטת הנפח השלישית של הבסיס.

באלמנטים מסדר ראשון, מספור הצמתים זהה בפורמט הקלט HEC-MW ובפורמט הפנימי. באלמנטים מסדר שני, מוסכמות סידור צמתי אמצע־הצלע שונות בין שני הפורמטים. FrontISTR מקבל בקלט את פורמט HEC-MW, שבו צמתי האמצע מופיעים לאחר מעבר על צמתי הפינה ובסדר הצלעות 1-2, 2-3 וכן הלאה, בעוד שמימוש פונקציות הצורה בספריית האלמנטים מניח סידור אחר.

ההבדל בין הפורמטים נפתר באמצעות סידור מחדש לכל אלמנט על ידי hecmw2fstr_mesh_conv, הנקראת מיד לאחר קריאת הרשת. מבין האלמנטים המוצקים התלת־ממדיים, שני הסוגים הבאים עוברים המרה.

סוג אלמנט טבלת המרה תוכן
342 (טטראהדר מסדר שני) Table342 סידור מחדש של 10 צמתים ל-\(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (מנסרה משולשת מסדר שני) Table352 סידור מחדש של 15 צמתים ל-\(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

מכיוון שהסידור מחדש נעשה ישירות במערך המאחסן את קישוריות האלמנטים, כל הקריאות הבאות לספריית האלמנטים משתמשות בסידור הצמתים הפנימי של FrontISTR. עבור אלמנט הקסהדר מסדר שני 362, סדר צמתי אמצע־הצלע זהה בפורמט הקלט HEC-MW ובפורמט הפנימי של FrontISTR, ולכן אין טבלת המרה. בעת פלט התוצאות נקראת ההמרה ההפוכה fstr2hecmw_mesh_conv, והצמתים מוחזרים לסדר HEC-MW לפני הכתיבה. לכן מבחינת המשתמש די להתייחס לפורמט HEC-MW בלבד הן בקלט והן בפלט. מספור הצמתים בפונקציות הצורה שלהלן הוא לפי הפורמט הפנימי של FrontISTR לאחר ההמרה.

פונקציות צורה של אלמנטים מסדר ראשון

פונקציות הצורה של אלמנט טטראהדר מסדר ראשון (341) הן קואורדינטות הנפח עצמן:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

פונקציות הצורה של אלמנט מנסרה משולשת מסדר ראשון (351) הן המכפלה של פונקציות הצורה הליניאריות של משולש הבסיס (\(a, \xi, \eta\)) ושל פונקציות הצורה הליניאריות בכיוון הצירי (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

פונקציות הצורה של אלמנט הקסהדר מסדר ראשון (361) הן מכפלת טנזור של פונקציות הצורה הליניאריות בשלושת כיווני הצירים:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

כאן \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) מייצגות את ערכי הקואורדינטות הטבעיות של הצומת \(\alpha\) (כל רכיב הוא \(\pm 1\)).

פונקציות צורה של אלמנטים מסדר שני

פונקציות הצורה של אלמנט טטראהדר מסדר שני (342) מתחלקות לארבעה צמתי פינה ולשישה צמתי אמצע־צלע:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

צמתי האמצע 5–10 מתאימים בהתאמה לנקודות האמצע של הצלעות 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4.

פונקציות הצורה של אלמנט מנסרה משולשת מסדר שני (352) מורכבות משישה צמתי פינה, שישה צמתי אמצע־צלע על הפאות המשולשות ושלושה צמתי אמצע על הצלעות הציריות:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

צמתי האמצע 7–9 מתאימים לנקודות האמצע של צלעות משולש הבסיס (\(\zeta = -1\)), צמתים 10–12 לאלו של המשולש העליון (\(\zeta = +1\)), וצמתים 13–15 לנקודות האמצע של הצלעות הציריות.

אלמנט הקסהדר מסדר שני (362) הוא אלמנט בעל 20 צמתים ממשפחת Serendipity. נסמן את ערכי הקואורדינטות הטבעיות של הצומת \(\alpha\) ב-\((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). עבור צמתי הפינה (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), כל רכיב הוא \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

עבור צמתי אמצע־הצלע (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), אחת משלוש הקואורדינטות הטבעיות היא \(0\) והשתיים האחרות הן \(\pm 1\)), לצומת שבו \(\xi_\alpha = 0\) (כיוון הצלע הוא ציר \(\xi\)):

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

צמתי האמצע שכיוון צלעותיהם הוא ציר \(\eta\) או ציר \(\zeta\) ניתנים באופן דומה, כאשר הקואורדינטה הטבעית המתאימה מופיעה באיבר הריבועי.

נושאים קשורים