לדלג לתוכן

ניסוחי אלמנטים מתקדמים

הניסוח הסטנדרטי המבוסס על הזזות, המוצג בניסוח אלמנטים מוצקים תלת־ממדיים, מציג קשיחות מלאכותית עודפת המכונה נעילה (נעילה נפחית או נעילת גזירה) כאשר מיישמים אותו על חומרים כמעט בלתי־דחיסים או על מבנים דקי־דופן הנשלטים בכפיפה. כדי להימנע מכך, FrontISTR מספק את שיטות B-bar ו-F-bar המחליפות רק את החלק הנפחי של מטריצת B או של גרדיאנט הדפורמציה, אלמנטים לא־תואמים עם דרגות חופש פנימיות, אלמנטים מעורבים u-p שבהם הלחץ הוא שדה נעלם עצמאי, וכן אלמנטי מעטפת MITC ואלמנטי קורה המותאמים למבני לוחות וקורות.

פרק זה מסכם את הניסוחים של אלמנטים מתקדמים ואלמנטים מבניים אלה לפי סוג אלמנט.

שיטת B-bar

כאשר משתמשים באלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים עבור חומר כמעט בלתי־דחיס, שדה העיבור בתוך האלמנט עלול לסתור את אילוץ הנפח הקבוע ולגרום לקשיחות עודפת המכונה נעילה נפחית. שיטת B-bar מקלה על אילוץ־יתר זה על ידי החלפת הרכיבים במטריצת B התורמים להתפשטות נפחית בערכים המחושבים במרכז האלמנט [Hughes1980].

נסמן את מטריצת B המחושבת במרכז האלמנט \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) מן הנגזרות המרחביות של פונקציות הצורה ב-\(\bar{\boldsymbol{B}}\), ואת מטריצת B הרגילה המחושבת בנקודת האינטגרציה \(\boldsymbol{r}\) ב-\(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). בקשר הזזה־עיבור עבור צומת \(\alpha\) ודרגת חופש \(i\), לרכיבי העיבור הנפחי \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) מוסיפים

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ולעומת זאת עבור רכיבי הגזירה \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) משתמשים ב-\(\boldsymbol{B}\) הרגילה. קשיחות האלמנט ווקטור הכוח הפנימי מורכבים באמצעות מטריצת B-bar שהתקבלה.

FrontISTR מספק ניסוח זה במיוחד עבור אלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים (מזהה אלמנט 361; ראו מערכת מספור האלמנטים), והוא ישים לדפורמציה קטנה, Total Lagrange ו-Updated Lagrange.

שיטת F-bar

בדפורמציה סופית, שינוי הנפח משפיע באופן לא־ליניארי דרך גרדיאנט הדפורמציה \(\boldsymbol{F}\); שיטת F-bar [deSouzaNeto1996] מבצעת ברמת גרדיאנט הדפורמציה טיפול בנעילה נפחית המקביל לשיטת B-bar.

נסמן את יחס הנפח של גרדיאנט הדפורמציה המוערך במרכז האלמנט \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ב-\(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), ואת יחס הנפח בנקודת האינטגרציה ב-\(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). גרדיאנט הדפורמציה בנקודת האינטגרציה מוחלף ב-

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

כך מתקבל \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), ויחס הנפח בכל האלמנט מושווה לערך במרכז האלמנט. ב-\(\bar{\boldsymbol{F}}\) לאחר ההחלפה משתמשים להערכת המאמץ ולבניית מטריצת העיבור־הזזה, ובקשיחות האלמנט מרכיבים את המטריצה המשיקית כולל האיברים הנוספים הנובעים מהחלפה זו.

FrontISTR מממש את שיטת F-bar במיוחד עבור אלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים, והיא ישימה הן לדפורמציה קטנה והן לגאומטריה לא־ליניארית מסוג Total Lagrange / Updated Lagrange.

אלמנטים לא־תואמים

לאלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים חסרות דרגות העיבור הדרושות למצבי כפיפה, ולכן הוא מציג נעילת כפיפה בבעיות הנשלטות בכפיפה. אלמנטים לא־תואמים [Taylor1976] מוסיפים מצבי הזזה פנימיים בתוך האלמנט כדי לפצות על חסר זה.

בנוסף להזזות צמתי האלמנט \(\boldsymbol{u}^e\), מוכנסות דרגות חופש של מצבים לא־תואמים \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) הקיימות רק בתוך האלמנט, 3 כיוונים × 3 מצבים לכל אלמנט, ושדה ההזזה מקורב כ-

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

עבור הקואורדינטות הטבעיות \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) נבחרות פונקציות הצורה הלא־תואמות \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\). הן אינן מבטיחות רציפות בגבולות האלמנט, אך מוסיפות בתוך האלמנט מרחב המסוגל לייצג את העיבורים של מצבי כפיפה.

קשיחות האלמנט מורכבת תחילה בפירוק בלוקים של דרגות חופש חיצוניות ופנימיות

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

לאחר ההרכבה בצורה זו מבוצעת קונדנסציה סטטית המסלקת את דרגות החופש הפנימיות באמצעות \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), ומתקבלת קשיחות אלמנט המכילה רק דרגות חופש חיצוניות

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

והיא מועברת להרכבה הכוללת.

FrontISTR מממש את האלמנט הלא־תואם במיוחד עבור אלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים (C3D8IC), והוא ישים לדפורמציה קטנה, Total Lagrange ו-Updated Lagrange.

אלמנטים מעורבים U-P

בעוד ששיטות B-bar ו-F-bar מתקנות את הרכיב הנפחי בתוך מסגרת מבוססת־הזזה, אלמנט מעורב u-p (U-P) משתמש בניסוח מעורב [Bathe1996] שמכניס את הלחץ \(\lambda\) כשדה נעלם עצמאי מן ההזזה. בחומרים כמעט בלתי־דחיסים, כגון חומרים דמויי גומי שיחס Poisson שלהם קרוב מאוד ל-0.5 או מתכות לאחר דפורמציה פלסטית, ניסיון לקיים את אילוץ הנפח הקבוע באמצעות שדה ההזזה בלבד גורם לנעילה נפחית; שימוש בלחץ כמשתנה עצמאי מקל על האילוץ.

המאמץ מופרד לרכיב דביאטורי וללחץ:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

כאן \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) היא מטריצת האלסטיות הדביאטורית המתקבלת לאחר הסרת החלק הנפחי היחסי למודול הנפחי \(K\) ממטריצת האלסטיות. הלחץ \(\lambda\) והעיבור הנפחי \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) קשורים באמצעות אילוץ דרך הדחיסות \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

דיסקרטיזציה שבה ההזזה \(\boldsymbol{u}\) והלחץ \(\lambda\) הם נעלמים נותנת את מערכת המשוואות המצומדת של האלמנט

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

כאן \(\mathbf{K}_{uu}\) כוללת את התרומה האלסטית הדביאטורית, ובדפורמציה סופית גם קשיחות גאומטרית; \(\mathbf{K}_{up}\) מצמדת בין העיבור הנפחי ללחץ; ו-\(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) היא איבר ייצוב הלחץ (\(\boldsymbol{N}_p\) היא פונקציית הצורה של הלחץ). מאחר שדרגות החופש של הלחץ סגורות בתוך האלמנט,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

מבוצעת קונדנסציה סטטית בצורה זו, והקשיחות האפקטיבית המכילה רק דרגות חופש חיצוניות (הזזה) מועברת להרכבה הכוללת.

FrontISTR מממש את אלמנט U-P במיוחד עבור אלמנט הקסהדרלי ליניארי בעל 8 צמתים, עם דרגת חופש אחת של לחץ לכל אלמנט (קבועה בתוך האלמנט). הוא ישים לדפורמציה קטנה, Total Lagrange ו-Updated Lagrange. ב-Updated Lagrange המאמץ הדביאטורי מעודכן באמצעות קצב מאמץ אובייקטיבי (מסוג Jaumann/Hughes-Winget), ולאחר מכן הלחץ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) מוטל לפי הערך שהתקבל בקונדנסציה הסטטית.

אלמנטי מעטפת

עבור מבני לוחות ומעטפות דקי־דופן משתמשים באלמנטי מעטפת המבוססים על תורת הלוחות/מעטפות Reissner-Mindlin. ככל שהעובי קטן, אלמנטים מסדר נמוך המבוססים על הזזות מעריכים יתר על המידה את עיבור הגזירה הרוחבי במנגנון הדומה לנעילה נפחית (נעילת גזירה), וקשיחותם למצבי כפיפה גדלה באופן חריג. שיטת MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] נמנעת מכך באמצעות דגימה מחדש של רכיבי עיבור הגזירה בלבד בנקודות קשירה מוגדרות מראש באלמנט, ואינטרפולציה מחדש של הערכים שנדגמו על פני האלמנט.

הצמתים של אלמנט מעטפת MITC נמצאים על המשטח האמצעי, ולכל צומת שש דרגות חופש: שלושה רכיבי תרגום ושלושה רכיבי סיבוב סביב מערכת הצירים של הנורמל למשטח האמצעי. קשיחות האלמנט מוערכת באמצעות אינטגרציית Gauss תלת־ממדית הכוללת את הקואורדינטות הטבעיות של המשטח האמצעי ואת כיוון העובי, והעובי \(h\) ניתן כתכונת אלמנט בזמן חישוב החוק הקונסטיטוטיבי.

FrontISTR מספק MITC3 (מזהה אלמנט 731), MITC4 (741) ו-MITC9 (743) המיוצגים בשכבה אחת של המשטח האמצעי, וכן אלמנטי מעטפת שכבתיים MITC3-shell361 (761, ‏3\(\times\)2 צמתים, 3 דרגות חופש לצומת) ו-MITC4-shell361 (781, ‏4\(\times\)2 צמתים, 3 דרגות חופש לצומת), שבהם הצמתים מסודרים בשתי שכבות בכיוון העובי. באלמנטי המעטפת השכבתיים דרגות החופש הצומתיות הן שלושה רכיבי תרגום בלבד, ומצבי הכפיפה השקולים לדרגות חופש סיבוביות מיוצגים באמצעות סידור שתי השכבות.

אלמנטי קורה

איברים קוויים כגון קורות ראשיות ומסגרות עוברים דיסקרטיזציה באמצעות אלמנטי קורה. FrontISTR משתמש בניסוח קורת Timoshenko המביא בחשבון דפורמציית גזירה ומתאר הן כפיפה והן גזירה כפונקציות של דרגות חופש תרגומיות וסיבוביות.

לכל צומת קורה שש דרגות חופש: שלושה רכיבי תרגום ושלושה רכיבי סיבוב סביב ציר הקורה והצירים הרוחביים. קשיחות האלמנט מוערכת באמצעות אינטגרציה נומרית חד־ממדית לאורך ציר הקורה. שטח החתך \(A\) והמומנטים השניים של השטח \(I\) בכיווני הכפיפה והפיתול ניתנים כתכונות חתך של הקורה, וביחד עם מודול Young \(E\) ומודול הגזירה \(G\) של החומר הם מרכיבים את מקדמי הקשיחות המתיחה, הכפיפה, הפיתול והגזירה.

FrontISTR מספק אלמנט קורה ישר בעל 2 צמתים (מזהה אלמנט 611) ואלמנט היברידי מוצק־קורה טטראהדרלי בעל 4 צמתים המיוצג באמצעות 3 צמתים (641, לשילוב דרגות חופש).

נושאים קשורים