תנועה, עיוות ועיבור¶

תצורת ייחוס ותצורה נוכחית¶

הגדרת התצורות¶

כדי להבחין איזו צורה בזמן משמשת כבסיס לתיאור גדלים פיזיקליים, מדריך זה משתמש בשתי תצורות.

תצורת ייחוס (reference configuration): הצורה הבלתי־מעוותת בתחילת הניתוח (זמן \(0\)), הנקראת גם התצורה ההתחלתית. נקודה בתצורת הייחוס מיוצגת באמצעות קואורדינטת החומר \(\boldsymbol{X}\), כאשר הנפח הוא \(V\) והמשטח הוא \(S\).
תצורה נוכחית (current configuration): הצורה המעוותת בזמן \(t\). נקודה בתצורה הנוכחית מיוצגת באמצעות קואורדינטה מרחבית \(\boldsymbol{x}\), כאשר הנפח הוא \(v\) והמשטח הוא \(s\).

התנועה מיוצגת כמיפוי בין שתי התצורות, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), וההזזה מוגדרת כ-\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

מוסכמות סימון התלויות בתצורה (אותיות גדולות/קטנות)¶

גודל האות של הסמל מבדיל בין התצורות שאליהן שייך גודל פיזיקלי.

גדלים השייכים לתצורת הייחוס נכתבים בסמלים גדולים (לדוגמה: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
גדלים השייכים לתצורה הנוכחית נכתבים בסמלים קטנים (לדוגמה: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
עבור גדלים המשתרעים על פני שתי התצורות, כגון מאמץ Piola-Kirchhoff הראשון \(\boldsymbol{P}\), משתמשים בסימון המקובל ומציינים זאת במפורש בטקסט לפי הצורך.
בתורת העיוותים הקטנים ההבחנה בין שתי התצורות נעלמת, ולכן נעשה שימוש רק בסמלים קטנים (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

גרדיאנט בתצורת הייחוס וגרדיאנט בתצורה הנוכחית¶

הסימון והמשמעות שונים בהתאם לתצורה שביחס אליה נלקחת הנגזרת המרחבית.

גרדיאנט בתצורת הייחוס \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): גרדיאנט ביחס לקואורדינטות החומר. לדוגמה: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
גרדיאנט בתצורה הנוכחית \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): גרדיאנט ביחס לקואורדינטות המרחביות. לדוגמה: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

הם קשורים באמצעות \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). למוסכמה של נגזרת זמן (נגזרת זמן חומרית \(\dot{(\cdot)}\)) ראו סימון טנזורים ויסודות מתמטיים.

תיאור התנועה¶

מיפוי התנועה ותיאור חומרי/מרחבי¶

אם הרצף נתפס כאוסף של נקודות חומר המסומנות לפי מיקומן \(\boldsymbol{X}\) בזמן \(0\), התנועה מיוצגת באמצעות מיפוי \(\phi\) המתאים לכל נקודת חומר \(\boldsymbol{X}\) את מיקומה \(\boldsymbol{x}\) בזמן \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

לפי המוסכמה שבה תצורת הייחוס היא התצורה ההתחלתית, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

מבחינים בין שני תיאורים לפי בחירת המשתנים הבלתי־תלויים.

תיאור חומרי (תיאור Lagrange): מייצג גדלים פיזיקליים כפונקציות של \((\boldsymbol{X}, t)\). במכניקת מוצקים זו בחירה טבעית, משום שתצורת הייחוס נתונה כצורה קבועה.
תיאור מרחבי (תיאור Euler): מייצג גדלים פיזיקליים כפונקציות של \((\boldsymbol{x}, t)\). זהו התיאור המקובל במכניקת זורמים.

הניתוח המבני של FrontISTR מבוסס בעיקרו על התיאור החומרי, אך בשיטת Updated Lagrange נעשה שימוש גם בגדלים מן התיאור המרחבי, משום שהתצורה הנוכחית משמשת כתצורת הייחוס החדשה.

הזזה, מהירות ותאוצה¶

כאמור בסעיף הקודם, ההזזה \(\boldsymbol{u}\) מוגדרת כ-\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). לא מניחים דבר לגבי גודלה, ולכן נכלל גם עיוות סופי. וקטורי המהירות והתאוצה מוגדרים כנגזרות זמן חומריות של \(\boldsymbol{u}\) תוך החזקת נקודת החומר קבועה:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

משוואות אלה מגדירות את המהירות והתאוצה.

גרדיאנט העיוות וטנזורי העיוות¶

טנזור גרדיאנט העיוות¶

הגודל היסודי במכניקת רצף בעיוות סופי הוא טנזור גרדיאנט העיוות \(\boldsymbol{F}\). זהו מיפוי ליניארי המעביר אלמנט קו אינפיניטסימלי \(d\boldsymbol{X}\) בתצורת הייחוס לאלמנט קו אינפיניטסימלי \(d\boldsymbol{x}\) בתצורה הנוכחית, והוא מוגדר כגרדיאנט של מיפוי התנועה ביחס לקואורדינטות החומר:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

בהגדרה זו (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), במצב הבלתי־מעוות מתקיים \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). ב-\(\boldsymbol{F}\) נעשה שימוש נרחב להגדרת עיבור ומאמץ ולהמרת גדלים פיזיקליים בין תצורות.

יחס שינוי הנפח¶

היחס בין נפח אינפיניטסימלי \(dV\) בתצורת הייחוס לבין הנפח האינפיניטסימלי המתאים \(dv\) בתצורה הנוכחית נקרא יחס שינוי הנפח \(J\) ומוגדר כ-

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

ההפיכות של הרצף מחייבת \(J > 0\). שימור המסה מבוטא כ-\(\rho_0 = J\rho\).

טנזורי העיוות Cauchy-Green הימני והשמאלי¶

מאחר שגרדיאנט העיוות \(\boldsymbol{F}\) כולל סיבוב גוף קשיח, מדדים של העיוות עצמו משתמשים בגדלים שמהם הוסר סיבוב הגוף הקשיח. טנזור העיוות Cauchy-Green הימני \(\boldsymbol{C}\) (תצורת הייחוס) וטנזור העיוות Cauchy-Green השמאלי \(\boldsymbol{b}\) (התצורה הנוכחית) מוגדרים כ-

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

שניהם טנזורים סימטריים ובעלי אותם ערכים עצמיים (ריבועי יחסי המתיחה הראשיים). האינווריאנטים הראשיים של פונקציות אנרגיית העיבור ההיפראלסטיות מבוטאים באמצעות טנזורים אלה.

טנזורי עיבור¶

טנזור עיבור Green-Lagrange¶

כמדד עיבור ביחס לתצורת הייחוס, טנזור עיבור Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) מוגדר על ידי

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

זהו טנזור סימטרי המייצג את השינוי במכפלה הפנימית של וקטורים אינפיניטסימליים בתצורת הייחוס, הוא אינו משתנה תחת סיבוב גוף קשיח ומקיים \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) במצב הבלתי־מעוות. שימוש ב-\(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) נותן

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

כך העיבור מבוטא כסכום של איברים מסדר ראשון ושני בגרדיאנט ההזזה; האיבר מסדר שני מייצג אי־ליניאריות גאומטרית. בשיטת Total Lagrange הוא משמש כחלק מן הצמד הצמוד לעבודה \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

טנזור עיבור Almansi¶

כמדד עיבור ביחס לתצורה הנוכחית, טנזור עיבור Almansi \(\boldsymbol{e}\) מוגדר על ידי

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

הוא קשור לעיבור Green-Lagrange באמצעות \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

טנזור העיבור האינפיניטסימלי¶

כאשר גרדיאנט ההזזה קטן (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), ניתן להזניח את האיבר מסדר שני של עיבור Green-Lagrange. מאחר שההבחנה בין שתי התצורות נעלמת אז, מתקבל טנזור העיבור האינפיניטסימלי \(\boldsymbol{\varepsilon}\), כאשר הגרדיאנט נכתב בקואורדינטות מרחביות:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR משתמש במדד עיבור זה בניתוח סטטי ליניארי, באנליזה מודאלית, בניתוח תגובת תדר ובניתוח דינמי ליניארי. בניתוח עיוות סופי נעשה שימוש ב-\(\boldsymbol{E}\) בשיטת Total Lagrange ובטנזור קצב העיבור \(\boldsymbol{D}\), המוגדר ביחס לתצורה הנוכחית, בשיטת Updated Lagrange.