לדלג לתוכן

מאמץ וחוקי שימור

פרק זה מסכם את ההגדרות והקשרים ההדדיים של טנזורי המאמץ, ואת משוואות שיווי המשקל וסימטריית המאמץ הנגזרות מחוקי שימור המסה, התנע והתנע הזוויתי. שלושת טנזורי המאמץ — מאמץ Cauchy‏ \(\boldsymbol{\sigma}\), מאמץ Piola-Kirchhoff הראשון \(\boldsymbol{P}\) ומאמץ Piola-Kirchhoff השני \(\boldsymbol{S}\) — נבדלים בבחירת התצורה עבור משטח הייחוס ווקטור הכוח. להגדרות התצורה, התנועה וגרדיאנט העיוות ראו תנועה, עיוות ועיבור, ולרשימת הסמלים ראו רשימת סמלים לגדלים פיזיקליים.

טנזור מאמץ Cauchy

נסמן ב-\(d\boldsymbol{f}\) את הכוח הפועל על משטח זעיר בנקודה \(\boldsymbol{x}\) בתצורה הנוכחית (שטח \(d\Gamma\), נורמל יחידה חיצוני \(\boldsymbol{n}\)), ונגדיר את וקטור המאמץ \(\boldsymbol{t}\) ככוח ליחידת שטח, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). ‏\(\boldsymbol{t}\) תלוי הן במיקום \(\boldsymbol{x}\) והן בנורמל \(\boldsymbol{n}\). מהחלת שימור התנע על טטראהדר זעיר נובע ש-\(\boldsymbol{t}\) ליניארי ב-\(\boldsymbol{n}\), ולכן קיים טנזור מסדר שני \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) כך ש-

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

לכל \(\boldsymbol{n}\) (משפט המאמץ של Cauchy). הטנזור \(\boldsymbol{\sigma}\) נקרא טנזור מאמץ Cauchy, וגם מאמץ אמיתי, משום שהוא מבטא כוח ליחידת שטח ביחס לגאומטריה של התצורה הנוכחית. הרכיב \(\sigma_{ij}\) הוא רכיב הכוח בכיוון \(x_i\) ליחידת שטח של משטח זעיר המאונך לציר \(x_j\) בתצורה הנוכחית.

מחוק שימור התנע הזוויתי המתואר בהמשך נובע שמאמץ Cauchy הוא טנזור סימטרי

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ובשלושה ממדים יש לו שישה רכיבים בלתי־תלויים (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). הווקטוריזציה של המאמץ בייצוג Voigt מניחה סימטריה זו (ראו סימון טנזורי ויסודות מתמטיים). מאמץ Cauchy משמש בפלט המאמץ של FrontISTR באנליזה גאומטרית לא־ליניארית בשיטת Updated Lagrange ובאנליזה של עיוותים קטנים.

מאמצי Piola-Kirchhoff הראשון והשני

בעיוותים סופיים לעיתים נוח יותר לייצג מאמץ ביחס למשטח ולווקטור בתצורת הייחוס, ולכן מוגדרים שני טנזורי מאמץ Piola-Kirchhoff. נסמן את שטח המשטח הזעיר בתצורת הייחוס ב-\(d\Gamma_0\) ואת נורמל היחידה החיצוני ב-\(\boldsymbol{N}\).

מאמץ Piola-Kirchhoff הראשון (מאמץ PK ראשון, מאמץ נומינלי) \(\boldsymbol{P}\) מוגדר כטנזור המאמץ המתקבל כאשר הכוח \(d\boldsymbol{f}\) מן התצורה הנוכחית פועל על משטח זעיר בתצורת הייחוס:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

מנוסחת Nanson‏ \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) וממשפט המאמץ של Cauchy מתקבל הקשר למאמץ Cauchy:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

מאמץ PK הראשון אינו, באופן כללי, טנזור סימטרי.

מאמץ Piola-Kirchhoff השני (מאמץ PK שני) \(\boldsymbol{S}\) מוגדר כטנזור המאמץ המתקבל לאחר משיכת הכוח \(d\boldsymbol{f}\) מן התצורה הנוכחית חזרה לתצורת הייחוס באמצעות \(\boldsymbol{F}^{-1}\) והפעלתו על משטח זעיר בתצורת הייחוס:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

גם וקטור הכוח וגם המשטח הפועל מיוצגים בגדלים של תצורת הייחוס; הטנזור אינו משתנה תחת סיבוב גוף קשיח והוא סימטרי. הקשר למאמץ PK הראשון ונוסחאות ההמרה מול מאמץ Cauchy הם

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

מאמץ PK השני נגזר מפונקציית אנרגיית העיבור ההיפראלסטית \(W(\boldsymbol{C})\) כ-\(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\), ובשיטת Total Lagrange הוא משמש בזוג הצמוד מאמץ־עיבור \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) עם עיבור Green-Lagrange‏ \(\boldsymbol{E}\).

תצורת הייחוס והסימטריה מסוכמות בטבלה הבאה. בגבול העיוותים הקטנים (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\),‏ \(J \to 1\)), שלושת המאמצים מתלכדים.

טנזור מאמץ משטח ייחוס וקטור כוח סימטריה שימוש
מאמץ Cauchy‏ \(\boldsymbol{\sigma}\) תצורה נוכחית \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) תצורה נוכחית \(d\boldsymbol{f}\) סימטרי שיטת Updated Lagrange, אנליזת עיוותים קטנים
מאמץ PK ראשון \(\boldsymbol{P}\) תצורת ייחוס \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) תצורה נוכחית \(d\boldsymbol{f}\) בדרך כלל לא סימטרי משוואת שיווי משקל בתצורת הייחוס
מאמץ PK שני \(\boldsymbol{S}\) תצורת ייחוס \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) תצורת ייחוס \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) סימטרי שיטת Total Lagrange, היפראלסטיות

שימור מסה ותנע ומשוואות שיווי משקל

אם צפיפות המסה בתצורה הנוכחית היא \(\rho\) ובתצורת הייחוס היא \(\rho_0\), חוק שימור המסה \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) מצטמצם, באמצעות המרת אלמנט הנפח \(dv = J\, dV\), לצורה המקומית

\[ \rho_0 = J \rho \]

אם כוח הגוף ליחידת מסה הוא \(\boldsymbol{g}\) והתאוצה היא \(\boldsymbol{a}\), החלת משפט המאמץ של Cauchy ומשפט הדיברגנץ של Gauss על חוק שימור התנע (חוק התנועה הראשון של Euler) נותנת את משוואת שיווי המשקל (משוואת התנועה) המקומית בתצורה הנוכחית:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

באמצעות נוסחת Nanson והקשר \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), כתיבה מחדש כאינטגרל על תצורת הייחוס נותנת את הצורה המקומית בתצורת הייחוס:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

שתי הצורות שקולות לפי חוקי המרת המאמץ ו-\(\rho_0 = J\rho\). בהזנחת איבר האינרציה מתקבל

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

אלו משוואות שיווי המשקל הסטטי, והן נקודת המוצא של האנליזה הסטטית (ליניארית ולא־ליניארית) ב-FrontISTR.

שימור התנע הזוויתי וסימטריית המאמץ

שילוב חוק שימור התנע הזוויתי (חוק התנועה השני של Euler) עם משוואת שיווי המשקל מחוק שימור התנע מוביל לסימטריה של טנזור מאמץ Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ובשלושה ממדים הוא כולל שישה רכיבים בלתי־תלויים. מטרנספוזיציה של שני אגפי יחס ההמרה \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) ומההפיכות של \(\boldsymbol{F}\) נובע שגם מאמץ PK השני סימטרי:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

וגם הוא כולל שישה רכיבים בלתי־תלויים. לעומת זאת, מאמץ PK הראשון \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) אינו סימטרי בדרך כלל; מתקיים רק \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (כלומר \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) סימטרי), ולכן יש לו תשעה רכיבים בלתי־תלויים.

סימטריות אלה הן הבסיס לייצוג המאמץ כווקטור בן שישה רכיבים בסימון Voigt. למוסכמות ייצוג Voigt ולבניית מטריצת החומר ראו סימון טנזורי ויסודות מתמטיים ו-אלסטיות ליניארית.

נושאים קשורים