לדלג לתוכן

עקרון העבודה הווירטואלית

בהתבסס על משוואת שיווי המשקל ותנאי השפה שנגזרו ב-מאמץ וחוקי שימור, נגזור את עקרון העבודה הווירטואלית, שהוא הצורה החלשה של בעיית השפה במכניקת הרצף. דיסקרטיזציה בשיטת האלמנטים הסופיים מתחילה מצורה חלשה זו. פרק זה מציג הן את הצורה בתצורה הנוכחית (באמצעות מאמץ Cauchy והחלק הליניארי של עיבור Almansi) והן את הצורה בתצורת הייחוס (באמצעות מאמץ Piola-Kirchhoff השני ועיבור Green-Lagrange), מראה את שקילותן ולאחר מכן מאמת את המעבר לעיוותים קטנים.

משוואת שיווי המשקל ותנאי השפה

נסמן ב-\(\boldsymbol{g}\) את כוח הגוף ליחידת מסה הפועל על הרצף, ונבחן גוף התופס את התחום \(\Omega\) בתצורה הנוכחית. השפה \(\Gamma\) מחולקת לשפה הגאומטרית \(\Gamma_B\), שבה ההזזה נתונה כ-\(\bar{\boldsymbol{u}}\), ולשפה המכנית \(\Gamma_t\), שבה כוח השטח נתון כ-\(\bar{\boldsymbol{t}}\), כך ש-\(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) ו-\(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). בבעיה סטטית, משוואת שיווי המשקל מתקבלת מהשמטת איבר האינרציה מחוק שימור התנע המוצג ב-מאמץ וחוקי שימור:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{בתוך} \ \Omega \]

ומשמשת כמשוואת שיווי המשקל. תנאי השפה הם

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{על} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{על} \ \Gamma_B \]

מכאן ואילך נגזור את עקרון העבודה הווירטואלית כצורה החלשה של משוואת שיווי המשקל ושל תנאי השפה המכני \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). תנאי השפה הגאומטרי \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) משולב באמצעות בחירת פונקציית המבחן.

הצורה החלשה בתצורה הנוכחית

בצורה החלשה נגדיר את המרחב הקביל של ההזזה הלא־ידועה ואת מרחב פונקציות המבחן, בהתאמה, כ-

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{על} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{על} \ \Gamma_B \} \]

כאן \(d\) הוא הממד המרחבי, \(H^1(\Omega)\) הוא מרחב Sobolev של פונקציות שהן ונגזרותיהן החלשות מסדר ראשון אינטגרביליות בריבוע, ו-\(\delta\) מציין וריאציה. בייצוג בתצורה הנוכחית, \(\Omega\) היא התצורה המעוותת; בפתרון נומרי בפועל היא נמשכת לאחור לתצורת הייחוס או לתצורת ביניים ידועה.

הכפלת משוואת שיווי המשקל במשקל \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) והחלת משפט הדיברגנץ של Gauss ותנאי השפה המכני נותנות את עקרון העבודה הווירטואלית הבא בתצורה הנוכחית.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

כאן \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) הוא החלק הליניארי של טנזור עיבור Almansi, המוגדר על ידי

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

הווריאציה שלו היא \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). כלומר, מחפשים \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) כך שמשוואת העבודה הווירטואלית תתקיים לכל \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). אגף שמאל הוא העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים, ואגף ימין הוא העבודה הווירטואלית של הכוחות החיצוניים עקב כוח שטח נתון וכוח גוף.

מאחר שמשוואה זו כתובה על התחום המעוות (התצורה הנוכחית), בהליך פתרון מעשי בוחרים מחדש את התצורה ההתחלתית \(\Omega_0\) (תצורת הייחוס) או תצורת ביניים ידועה כתצורת הייחוס, משכתבים את המשוואה בצורה אינקרמנטלית ואז פותרים אותה. לבחירה המעשית של תצורת הייחוס (Total Lagrange / Updated Lagrange) ולפירוק האינקרמנטלי ראו מסגרת לניתוח אינקרמנטלי.

הצורה החלשה בתצורה ההתחלתית

נבחן גוף התופס את התחום \(\Omega_0\) בתצורת הייחוס, כאשר שפתו \(\Gamma_0\) מחולקת ל-\(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). משיכת הייצוג מן התצורה הנוכחית חזרה לתצורת הייחוס נותנת את צמד המאמץ־עיבור הצמוד: מאמץ Piola-Kirchhoff השני \(\boldsymbol{S}\) ועיבור Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). עקרון העבודה הווירטואלית בתצורה ההתחלתית הוא אז

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

כאן \(\rho_0\) היא צפיפות המסה בתצורת הייחוס, ולפי יחס שימור המסה \(\rho_0 = J\rho\) ביטוי זה שקול לביטוי כוח הגוף בתצורה הנוכחית.

שקילות הייצוגים בתצורה הנוכחית ובתצורה ההתחלתית

העבודה הווירטואלית של הכוחות הפנימיים בשני הייצוגים זהה באמצעות הטרנספורמציה לפי גרדיאנט העיוות \(\boldsymbol{F}\) ויחס הנפח \(J = \det \boldsymbol{F}\); כלומר,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

גם איברי הכוח החיצוני שקולים מכוח שימור המסה והמרת כוח השטח. לכן משוואת העבודה הווירטואלית בתצורה הנוכחית והמשוואה בתצורה ההתחלתית מבטאות אותו עיקרון בתצורות שונות. שיטת פתרון המתייחסת לתצורת הייחוס מתאימה לשיטת Total Lagrange, ואילו שיטה המתייחסת לתצורה הנוכחית (התצורה שהתכנסה מיד לפני כן) מתאימה לשיטת Updated Lagrange.

מעבר לעיוות קטן

תחת הנחות העיוות הקטן \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) ו-\(J \approx 1\), ההבחנה בין התצורה הנוכחית לתצורת הייחוס נעלמת, מאמץ PK השני מתלכד עם מאמץ Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), וגם עיבור Green-Lagrange וגם החלק הליניארי של עיבור Almansi מצטמצמים לעיבור האינפיניטסימלי \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

עקרון העבודה הווירטואלית מצטמצם אז לצורה החלשה המבוטאת באמצעות מאמץ Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) והעיבור האינפיניטסימלי \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{על} \ \Gamma_B \]

זוהי הצורה החלשה המשמשת ישירות לדיסקרטיזציה בניתוח סטטי אלסטי ליניארי בעיוות קטן (ניתוח סטטי אלסטי ליניארי (מבוא ונספח) מתחיל מצורה זו ומציג את בניית קשיחות האלמנט \(\boldsymbol{K}^e\) ועד להרכבת המשוואה הכוללת \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

לאחר הצבת החוק הקונסטיטוטיבי האלסטי הליניארי \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) וכתיבת \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ב-כתיב Voigt, הצורה החלשה נעשית

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

בצורה זו.

נושאים קשורים