לדלג לתוכן

מסגרת האנליזה האינקרמנטלית

הצורך באנליזה אינקרמנטלית

כפי שתואר לעיל, באנליזה של בעיות עיוות קטן ניתן לבצע אנליזת אלמנטים סופיים באמצעות עקרון העבודה הווירטואלית, השקול למשוואות היסוד כגון משוואות שיווי המשקל, ולאחר מכן לבצע דיסקרטיזציה של משוואה זו באמצעות אלמנטים סופיים. גם באנליזה של בעיות עיוות סופי העוסקות בעיוותים גדולים של מבנים, העיקרון הבסיסי של שימוש בעבודה וירטואלית זהה.

עם זאת, בבעיות עיוות סופי, גם אם מניחים שהחומר ליניארי, משוואת עקרון העבודה הווירטואלית נעשית לא־ליניארית ביחס להזזה. לפתרון משוואה לא־ליניארית משתמשים בדרך כלל בחישובים חוזרים בשיטה איטרטיבית.

בחישובים איטרטיביים אלה משתמשים בשיטת אנליזה אינקרמנטלית, שבה החישוב מבוצע בחלקים עבור תוספות עומס קטנות, והתוספות מצטברות עד שמגיעים למצב העיוות הסופי. כאשר מניחים בעיית עיוות קטן, אין הבחנה מיוחדת בין התצורה לפני העיוות לתצורה לאחר העיוות לצורך הגדרת עיבור ומאמץ. כלומר, תחת הנחת עיוות קטן, אין חשיבות אם התצורה שבה מתוארות משוואות היסוד היא התצורה לפני העיוות או לאחריו.

בעת ביצוע אנליזה אינקרמנטלית לבעיית עיוות סופי, הניסוח משתנה בהתאם לבחירה אם תצורת הייחוס היא התצורה ההתחלתית או התצורה בתחילת האינקרמנט. הראשונה נקראת שיטת total Lagrange והשנייה שיטת updated Lagrange. לפרטים יש לעיין במקורות שבסוף הפרק ובחומר הנלווה.

משוואת המוצא: עקרון העבודה הווירטואלית בזמן \(t'\)

נניח אנליזה אינקרמנטלית שבה המצב עד הזמן \(t\) ידוע והמצב בזמן \(t' = t + \Delta t\) אינו ידוע (ראו איור 2.2.1). משוואות שיווי המשקל, תנאי השפה ועקרון העבודה הווירטואלית בזמן \(t'\) (בייצוג התצורה הנוכחית, באמצעות מאמץ Cauchy ‏\(^{t'}\sigma\) והחלק הליניארי של עיבור Almansi ‏\(^{t'} A_{(L)}\)) ניתנים ב-עקרון העבודה הווירטואלית.

מושג האנליזה האינקרמנטלית

איור 2.2.1 מושג האנליזה האינקרמנטלית

אולם, מאחר שמשוואת מוצא זו מתוארת בתצורה (הלא־ידועה) בזמן \(t'\), בהליך הפתרון בפועל בוחרים מחדש כתצורת ייחוס את התצורה ההתחלתית בזמן \(0\), המסומנת \(V\), או את התצורה הנוכחית בזמן \(t\), \(^{t'} v\), כותבים את המשוואה מחדש בצורה אינקרמנטלית ואז פותרים:

  • שיטת Total Lagrange — מתייחסת לתצורה ההתחלתית \(V\). משתמשת במאמץ PK שני \(\boldsymbol{S}\) ובעיבור Green-Lagrange ‏\(\boldsymbol{E}\).
  • שיטת Updated Lagrange — מתייחסת לתצורה הנוכחית \(^{t}v\) בתחילת האינקרמנט. משתמשת במאמץ Cauchy ‏\(\boldsymbol{\sigma}\) ובחלק הליניארי של עיבור Almansi ‏\(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

לדיסקרטיזציה המרחבית של שתי השיטות (מטריצת B ווקטור הכוח הפנימי), ראו דיסקרטיזציה של העבודה הווירטואלית הפנימית; לליניאריזציה ולבניית הקשיחות המשיקית ראו מטריצת הקשיחות המשיקית.

נושאים קשורים