לדלג לתוכן

משוואת הולכת החום

פרק זה מסכם את משוואת השליטה של הולכת החום שבה מטפל FrontISTR ברמת הרצף ואת תנאי השפה שלה. דיסקרטיזציית הזמן ודיסקרטיזציית FEM נדונות בפרק הדיסקרטיזציה (L3d) ובפרק אלגוריתמי הפתרון (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

משוואת השליטה

משוואת הולכת החום ברצף היא כדלקמן.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

כאן, \(\rho=\rho(x)\) מציינת צפיפות מסה, \(c=c(x,T)\) חום סגולי, \(T=T(x,t)\) טמפרטורה, \(k=k(x,T)\) מוליכות תרמית, \(Q=Q(x,T,t)\) יצירת חום, \(x\) מיקום ו-\(t\) זמן. \(k_x, k_y, k_z\) הן המוליכויות התרמיות בכיוונים המתאימים עבור הולכת חום אנאיזוטרופית.

למאפיינים תרמיים מפורטים, לרבות תלות בטמפרטורה ואנאיזוטרופיה, ראו מאפיינים תרמיים.

תנאי שפה

נסמן את התחום הנבחן ב-\(S\) ואת שפתו ב-\(\Gamma\). בהנחה שבכל נקודה על \(\Gamma\) מוגדר תנאי שפה מסוג Dirichlet או מסוג Neumann, תנאי השפה הם כדלקמן.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

כאן מניחים שהצורות הפונקציונליות של \(T_1\) ושל \(q\) ידועות. \(q\) הוא שטף החום היוצא מן השפה. שטף החום \(q\) דרך השפה מורכב משלושת הרכיבים הבאים.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

כאן, \(q_s\) הוא שטף חום מפולג, \(q_c\) הוא שטף החום עקב מעבר חום בהסעה, ו-\(q_r\) הוא שטף החום עקב מעבר חום בקרינה.

כאן, \(Tc=Tc(x,t)\) היא טמפרטורת הסביבה למעבר חום בהסעה, \(hc=hc(x,t)\) הוא מקדם מעבר החום בהסעה, \(Tr=Tr(x,t)\) היא טמפרטורת הסביבה למעבר חום בקרינה, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) הוא מקדם מעבר החום בקרינה, \(\varepsilon\) היא האמיסיביות, \(\sigma\) הוא קבוע Stefan-Boltzmann, ו-\(F\) הוא מקדם הצורה.

לאופן הגדרת תנאים אלה בקובץ הקלט, ראו תנאי שפה ועומסים ברפרנס הפונקציות.

צורה חלשה

שפת צימוד עם אנליזה מבנית

נושאים קשורים