לדלג לתוכן

סימון טנזורים ויסודות מתמטיים

פרק זה מרכז את המוסכמות לסימון טנזורים, סימון אינדקסים וסימון Voigt המשמשות בפרקים הבאים של מדריך התאוריה של FrontISTR. כאן מתוארים רק כללי סימון טהורים שאינם תלויים בהגדרות של גדלים פיזיקליים. מוסכמות סימון התלויות בתצורה הקשורה לתנועת הרצף (תצורת ייחוס/תצורה נוכחית), כגון ההבחנה בין אותיות גדולות וקטנות ובין נגזרת חומרית לנגזרת מרחבית, מובאות ב-תנועה, עיוות ועיבור, שבו מוצג מושג התצורה.

סימון טנזורים

סימון וקטורים וטנזורים בגופן מודגש

כמוסכמה טיפוגרפית, גדלים סקלריים ורכיבים של וקטורים וטנזורים נכתבים בגופן רגיל (כגון \(\rho\) ו-\(x_i\)), ואילו הגדלים עצמם של וקטורים וטנזורים נכתבים בגופן מודגש (כגון \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) ו-\(\boldsymbol{\sigma}\)).

מוסכמת הסכימה של Einstein

אלא אם צוין אחרת, מוחלת מוסכמת הסכימה של Einstein: כאשר אותו אינדקס מופיע פעמיים באותו איבר, מתבצעת סכימה על אותו אינדקס. לדוגמה,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ורכיב \(i,j\) של המכפלה \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) של הטנזורים \(\boldsymbol{A}\) ו-\(\boldsymbol{B}\) הוא

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

כמוסכמת אינדקסים, כאשר \(i, j, k, l, \ldots\) משמשים כאינדקסים ללא ציון נוסף, הם מציינים אינדקסים הקשורים לדרגות חופש (\(1, 2, 3\) בתלת־ממד), ואילו אותיות יווניות קטנות \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) המשמשות כאינדקסים מציינות אינדקסים הקשורים לצמתים המרכיבים אלמנט.

מכפלה פנימית, טרנספוז ומכפלה טנזורית

הטרנספוז של הטנזור \(\boldsymbol{A}\) מסומן \(\boldsymbol{A}^T\). המכפלה הפנימית (כיווץ כפול) של טנזורים מסדר שני \(\boldsymbol{A}\) ו-\(\boldsymbol{B}\) נכתבת כ-

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

המכפלה הפנימית של הווקטורים \(\boldsymbol{a}\) ו-\(\boldsymbol{b}\) היא \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), והמכפלה הטנזורית שלהם היא \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

סימון Voigt

מאמץ ועיבור הם טנזורים סימטריים מסדר שני ביחס לדרגות החופש, והמקדמים המבטאים את הקשר הליניארי ביניהם יוצרים טנזור מסדר רביעי. טיפול ישיר בהם בתוכנית אינו יעיל מבחינת עלות חישובית ומימוש (מערכים רב־ממדיים ולולאות מקוננות עמוקות). לכן תוכניות כלליות של שיטת האלמנטים הסופיים מנצלות את הסימטריה ודוחסות את המאמץ והעיבור לווקטורי עמודה ואת טנזור האלסטיות מסדר רביעי למטריצה דו־ממדית. זהו סימון Voigt.

מכאן ואילך, הייצוג המטריציוני או הווקטורי של גודל טנזורי \(\boldsymbol{A}\) יסומן \(\hat{A}\) כדי להבדילו מן הטנזור המקורי.

ייצוג וקטורי של מאמץ ועיבור

עבור טנזור המאמץ הסימטרי \(\boldsymbol{\sigma}\) וטנזור העיבור \(\boldsymbol{\varepsilon}\), במקרה הדו־ממדי,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ובמקרה התלת־ממדי,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

הם מטופלים כווקטורי עמודה כפי שמוצג לעיל. אותו כלל חל גם על גדלים נגזרים כגון וריאציות ודיפרנציאלים. שימו לב כי לרכיבי הגזירה בצד העיבור יש מקדם 2 (בצד המאמץ אין). עקב אי־סימטריה זו ניתן לכתוב את המכפלה הפנימית הטנזורית באופן תמציתי כמכפלה פנימית וקטורית

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

במימוש קל לטעות במקדם 2 של רכיבי עיבור הגזירה, ולכן יש לזכור תמיד את המוסכמה "אין במאמץ / יש בעיבור". בדיוק אותה מוסכמת Voigt מוחלת על גדלים בתצורת הייחוס (מאמץ Piola-Kirchhoff השני \(\boldsymbol{S}\) ועיבור Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

ייצוג מטריציוני של טנזור מסדר רביעי

עבור הקשר הליניארי בין מאמץ לעיבור \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (בכתיב רכיבים, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), שימוש בסימטריה של \(\boldsymbol{\varepsilon}\) נותן

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ניתן לשכתב זאת כך. בתלת־ממד, אם מסדרים את \(\tilde{C}\) כמטריצת חומר בגודל 6×6, \(\hat{\tilde{C}}\), ניתן לבטא את הקשר הטנזורי המקורי כ-

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

מכאן ואילך במדריך זה, אלא אם צוין אחרת, מטריצת החומר מסומנת \(D\) (או \(\hat{C}\)). לרכיבים המפורשים עבור אלסטיות ליניארית איזוטרופית ראו אלסטיות ליניארית.

מוסכמות לאופרטורים דיפרנציאליים

אופרטור הגרדיאנט הסימטרי

אופרטור הגרדיאנט הסימטרי \(\nabla_S\) עבור שדה וקטורי \(\boldsymbol{u}\) מוגדר כ-

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

בכתיב רכיבים, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). את העיבור בעיוות קטן \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ניתן לכתוב בקיצור באמצעות אופרטור זה. ההבחנה בין התצורות (ייחוס/נוכחית) שלפיהן נלקח הגרדיאנט בעיוות סופי נדונה ב-תנועה, עיוות ועיבור.

נגזרת זמן חומרית

נגזרת הזמן החומרית של גודל \(A\) (נגזרת הזמן תוך מעקב אחר אותה נקודת חומר) מסומנת בנקודה עילית, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

מהירות ותאוצה מצייתות למוסכמה זו.

נושאים קשורים