רשימת סימונים של גדלים פיזיקליים
דף זה מפרט את הסימונים של הגדלים הפיזיקליים המשמשים במדריך התיאורטי של FrontISTR. לכללי הסימון (כתב מודגש לווקטורים ולטנזורים, מוסכמת הסכימה של Einstein וכתיב Voigt), ראו כתיב טנזורי ויסודות מתמטיים.
תצורות ומערכות קואורדינטות
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{X}\) | וקטור המיקום של נקודת חומר בתצורת הייחוס (ההתחלתית) (קואורדינטות חומריות) |
| \(\boldsymbol{x}\) | וקטור המיקום של נקודת חומר בתצורה הנוכחית (קואורדינטות מרחביות) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | הזזת התנועה: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | התחום התפוס על ידי הגוף בתצורת הייחוס |
| \(\Omega\) | התחום התפוס על ידי הגוף בתצורה הנוכחית |
| \(\Gamma_0\) | הגבול של \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | הגבול של \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | גבול גאומטרי (הזזה): הגבול בתצורה הנוכחית/תצורת הייחוס שעליו נקבע \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | גבול מכני: הגבול בתצורה הנוכחית/תצורת הייחוס שעליו נקבע \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (או \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | וקטור נורמל יחידה הפונה החוצה ממשטח בתצורה הנוכחית |
| \(\boldsymbol{N}\) | וקטור נורמל יחידה הפונה החוצה ממשטח בתצורת הייחוס |
| \(t\) | זמן |
מוסכמה: גדלים פיזיקליים בתצורת הייחוס מסומנים באותיות גדולות או בתת־סקריפט \(0\), וגדלים בתצורה הנוכחית מסומנים באותיות קטנות.
זמן ואינקרמנטים (אנליזה אינקרמנטלית)
| סימון | הסבר |
| \(\Delta t\) | אינקרמנט זמן: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | גודל פיזיקלי בזמן \(t\) (סופר־סקריפט שמאלי). לדוגמה: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) הוא מאמץ Cauchy בזמן \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | תחום התצורה הנוכחית בזמן \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | גבול התצורה הנוכחית בזמן \(t\) |
מוסכמה: באנליזה אינקרמנטלית, המצב עד הזמן \(t\) נחשב ידוע, והמצב בזמן \(t + \Delta t\) מחושב כבלתי־ידוע. הסופר־סקריפט השמאלי מושמט כאשר אין צורך לציין את הזמן במפורש. ניסוח הבוחר בתצורת הייחוס \(\Omega_0\) כתצורת הייחוס נקרא שיטת Total Lagrange, וניסוח הבוחר בתצורה הנוכחית \(^{t}\Omega\) בתחילת האינקרמנט כתצורת הייחוס נקרא שיטת Updated Lagrange.
הזזה, מהירות, תאוצה וכוח גוף
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{u}\) | וקטור הזזה: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | הזזה שנקבעה על הגבול הגאומטרי \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | הזזה וירטואלית (פונקציית מבחן): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) על \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | וקטור מהירות: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | וקטור תאוצה: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | כוח גוף (ליחידת מסה) |
| \(\boldsymbol{t}\) | וקטור כוח משטח (ליחידת שטח): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | כוח משטח שנקבע על הגבול המכני \(\Gamma_t\) (נתוני Neumann) |
אופרטורים דיפרנציאליים
| סימון | הסבר |
| \(\dot{(\cdot)}\) | נגזרת חומרית בזמן (נגזרת בזמן העוקבת אחר אותה נקודת חומר): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | גרדיאנט בתצורת הייחוס (ביחס לקואורדינטות החומריות \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | גרדיאנט בתצורה הנוכחית (ביחס לקואורדינטות המרחביות \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | אופרטור גרדיאנט סימטרי: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
הערה: \(\nabla_X\) ו-\(\nabla_x\) קשורים באמצעות \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). גרדיאנט ללא תת־סקריפט, \(\nabla\), משמש כאשר התצורה ברורה מן ההקשר או כאשר ההבחנה נעלמת, כמו בבעיות דפורמציה קטנה.
טנזורי דפורמציה
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{F}\) | טנזור גרדיאנט הדפורמציה: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | יחס שינוי נפח: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | טנזור הדפורמציה הימני Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | טנזור הדפורמציה השמאלי Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | טנזור גרדיאנט המהירות: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | טנזור קצב הדפורמציה (החלק הסימטרי של \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | טנזור הספין (החלק האנטי־סימטרי של \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
טנזורי עיבור
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{E}\) | טנזור עיבור Green-Lagrange (תצורת ייחוס): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | טנזור עיבור Almansi (תצורה נוכחית): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | החלק הליניארי של טנזור עיבור Almansi (גרדיאנט ההזזה הסימטרי בתצורה הנוכחית): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | טנזור עיבור אינפיניטסימלי (קירוב ליניארי): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
הערה: \(\boldsymbol{E}\) משמש בעיקר בשיטת Total Lagrange, ואילו \(\boldsymbol{D}\) משמש בעיקר בשיטת Updated Lagrange.
טנזורי מאמץ
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | טנזור מאמץ Cauchy (מאמץ אמיתי, תצורה נוכחית): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | טנזור המאמץ הראשון של Piola-Kirchhoff (מאמץ נומינלי): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | טנזור המאמץ השני של Piola-Kirchhoff (תצורת ייחוס, סימטרי): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
יחסי ההמרה בין טנזורי המאמץ:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
מוסכמה: בשיטת Total Lagrange משתמשים בזוג \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ובשיטת Updated Lagrange בזוג \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
צפיפות ומסה
| סימון | הסבר |
| \(\rho\) | צפיפות מסה בתצורה הנוכחית |
| \(\rho_0\) | צפיפות מסה בתצורת הייחוס |
שימור מסה: \(\rho_0 = J\rho\).
קבועי חומר (אלסטיות ליניארית)
| סימון | הסבר |
| \(E\) | מודול Young |
| \(\nu\) | יחס Poisson |
| \(\lambda\) | קבוע Lamé הראשון: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | קבוע Lamé השני (מודול גזירה): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | טנזור האלסטיות (מסדר רביעי): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), רכיבים \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (או \(\hat{\tilde{C}}\)) | מטריצת החומר (כתיב Voigt, בגודל \(6\times6\) בתלת־ממד): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
רכיבי טנזור האלסטיות עבור חומר אלסטי ליניארי איזוטרופי:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
חומרים היפראלסטיים
| סימון | הסבר |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | פונקציית פוטנציאל אלסטי (פונקציית צפיפות אנרגיית עיבור) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | האינווריאנטים הראשיים של טנזור Cauchy-Green הימני \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | האינווריאנטים המופחתים של \(\boldsymbol{C}\) (לאחר הפרדת שינוי הנפח) |
| \(C_1, C_2\) | קבועי החומר של מודל Mooney-Rivlin |
| \(D\) | קבוע חומר הקשור לאלסטיות נפחית |
חומרים אלסטו־פלסטיים
| סימון | הסבר |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | הרכיב האלסטי של טנזור קצב הדפורמציה |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | הרכיב הפלסטי של טנזור קצב הדפורמציה |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | פונקציית כניעה |
| \(\kappa\) | משתנה פנימי המייצג את המצב הפלסטי (משתנה הקשיה איזוטרופית) |
| \(\lambda^p\) | מכפיל פלסטי (מכפיל קצב עיבור פלסטי): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | פוטנציאל פלסטי (בכלל זרימה אסוציאטיבי \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | מאמץ שקול (למשל מאמץ von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | עיבור פלסטי שקול |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | פונקציית הקשיה איזוטרופית |
תנאי קומפלמנטריות: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
שיטת האלמנטים הסופיים
| סימון | הסבר |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | תחומי התצורה הנוכחית ותצורת הייחוס המקורבים באמצעות דיסקרטיזציה באלמנטים סופיים: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | תחום האלמנט בתצורה הנוכחית ובתצורת הייחוס |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | החלק של גבול האלמנט השייך לגבול המכני |
| \(\boldsymbol{r}\) | קואורדינטות טבעיות (קואורדינטות מקומיות של האלמנט) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | נקודה בקואורדינטות טבעיות המתאימה לצומת \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | פונקציית הצורה המתאימה לצומת \(\alpha\) של האלמנט \(e\) |
| \(n_e\) | מספר הצמתים המרכיבים אלמנט |
| \(n_g\) | מספר הצמתים הכולל |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | קואורדינטות והזזה של צומת האלמנט \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | וקטורי הקואורדינטות וההזזות של צמתי האלמנט: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) וכו׳ |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | וקטורי הקואורדינטות וההזזות של כלל הצמתים (מסודרים לפי מספר צומת ואז לפי דרגת חופש) |
| \(\boldsymbol{B}\) | מטריצת קשר עיבור־הזזה (מטריצת B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | מטריצת פונקציות הצורה: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) היא בלוק \(d \times d\) שבו פונקציית הצורה \(N_\alpha^e\) של צומת \(\alpha\) נמצאת על האלכסון, ו-\(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | מטריצת קשיחות האלמנט |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | האינטגרנדים של מטריצת קשיחות האלמנט (בתצורת הייחוס ובתצורה הנוכחית): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (שיטת TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (שיטת UL) | וקטור הכוח הפנימי של האלמנט |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | כוח חיצוני צומתי הפועל על צומת האלמנט \(\alpha\), ווקטור הכוחות החיצוניים הצומתיים של האלמנט: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | וקטור הכוח הפנימי הכולל ווקטור הכוח החיצוני הכולל: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), וכן עבור \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | כוח פנימי צומתי וכוח חיצוני צומתי בצומת הכולל \(i_g\) (בלוקי הצומת של \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | מטריצת הקשיחות המשיקית הכוללת: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). מטריצה שבה הבלוק \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) ממוקם בשורה \(i_g\) ובעמודה \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | וקטור השארית באיטרציית Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | התיקון באיטרציית Newton-Raphson (מתקבל בפתרון המשוואה הליניארית \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) באיטרציה ה-\(i\)) |
| \(i_g\) | מספר צומת כולל (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | מספר הצומת הכולל המתאים למספר הצומת המקומי \(\alpha\) באלמנט \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | קבוצת הזוגות \((e, \alpha)\) המתאימים למספר הצומת הכולל \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). משמשת בפעולות הרכבה |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | קבוצת השלשות \((e, \alpha, \beta)\) המתאימות לזוג מספרי הצמתים הכוללים \((i_g, i_h)\); משמשת בהרכבת מטריצת הקשיחות |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | אינדקסים של הצמתים המרכיבים אלמנט |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | אינדקסים של דרגות חופש (\(1, 2, 3\) בתלת־ממד) |
אלמנטים מתקדמים ואלמנטים מבניים
| סימון | הסבר |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | מטריצת קשר עיבור־הזזה שהחלק הנפחי שלה תוקן בשיטת B-bar (הרכיב הנפחי מוחלף במטריצת B המחושבת במרכז האלמנט) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | גרדיאנט דפורמציה שהחלק הנפחי שלו תוקן בשיטת F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | יחס הנפח של גרדיאנט הדפורמציה המחושב במרכז האלמנט \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | וקטור דרגות החופש הפנימיות באלמנט בעל מצבים לא־תואמים (מקדמים של מצבי הזזה נוספים שאינם מבטיחים רציפות בגבול האלמנט) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | פונקציות הצורה של המצבים הלא־תואמים: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | עובי אלמנט מעטפת |
| \(A\) | שטח החתך של אלמנט קורה |
| \(I\) | מומנט שני של שטח החתך של אלמנט קורה |
| \(G\) | מודול גזירה: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
נושאים קשורים