לדלג לתוכן

קריטריוני התכנסות

כתנאי לעצירת איטרציות Newton-Raphson (שיטת Newton-Raphson), FrontISTR משתמש בשני גדלים חסרי־ממד: קריטריון נורמת השארית ו־קריטריון נורמת התקנה. לשניהם הגדרה משותפת, ללא תלות בסוג האנליזה (אנליזה סטטית או אנליזה דינמית בשיטה אימפליציטית) ובנוכחות מגע.

פיצול גדלי הבדיקה

לדרגות החופש של הצמתים יש רכיבים מממדים פיזיקליים שונים. באלמנט עם 6 דרגות חופש, השארית של רכיבי התרגום בממד כוח, ואילו השארית של רכיבי הסיבוב בממד מומנט. בנוסף, באנליזת מגע בשיטת מכפילי Lagrange (אנליזת מגע), מוסיפים לווקטור השארית שורה המתאימה לפער המגע (ממד אורך).

כאשר מצברים את הגדלים הללו לסך ריבועים אחד, ערך הנורמה משתנה באופן שרירותי בהתאם לבחירת מערכת היחידות, והמשמעות של הסף אינה נקבעת. לכן FrontISTR מפצל את גדלי הבדיקה לפי ממד, עושה כל אחד מהם חסר־ממד באמצעות גודל הייחוס המתאים, ומבצע את הבדיקה רק לאחר מכן.

סימן רכיב ממד
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) השארית של רכיבי התרגום (דרגות חופש 1–3 של הצמתים) כוח
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) השארית של רכיבי הסיבוב (דרגות חופש 4–6 של הצמתים, באלמנטי 6 דרגות חופש בלבד) מומנט
\(d\boldsymbol{\lambda}\) התקנת מכפילי Lagrange כוח

רכיב הלחץ של אלמנטי האינטראקציה מבנה־נוזל (4 דרגות חופש לכל צומת, \(u,v,w,p\)) אינו נכלל בבדיקה.

באלמנטי קורה וקליפה עם 3 דרגות חופש לכל צומת (641/761/781), הסיבוב מיוצג בדרגות החופש 1–3 של צומת דמה המצורף לצומת התרגום. מאחר שהבדיקה אינה מבחינה בין צומת דמה לצומת אמיתי, השארית של צומת הדמה (מומנט) נכללת גם ברכיב התרגום \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). הדבר נכון גם לקריטריון נורמת התקנה ולבדיקה לפי הערך המקסימלי.

השארית \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) אינה כוללת את הרכיבים של דרגות החופש שהוטלו עליהן אילוצי הזזה. השארית המתגלה בדרגות החופש הללו מתאימה לכוחות תגובת האילוץ, ואינה שגיאת שיווי־משקל, ולכן היא אינה נכללת (שיטת Newton-Raphson).

קריטריון נורמת השארית

השארית \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) של האיטרציה ה־\(i\) עשויה חסרת־ממד באמצעות עוצמת הכוחות הפועלים במערכת באותו רגע. כוח הייחוס \(F_\mathrm{ref}\) לרכיבי התרגום ומומנט הייחוס \(M_\mathrm{ref}\) לרכיבי הסיבוב נקבעים כך:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

כאשר \(\boldsymbol{Q}\) הוא וקטור הכוחות הפנימיים ו־\(\boldsymbol{D}\) הוא סך הכוחות האינרציאליים והוויסקוסיים

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(אנליזה דינמית). באנליזה סטטית \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). התווים התתיים \(t, r\) מציינים את רכיבי התרגום והסיבוב מהסעיף הקודם. גדלי הבדיקה הם:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

כוח הייחוס מוגדר כ־הערך המקסימלי של הנורמות של הכוחות הפנימיים ושל הכוחות האינרציאליים־הוויסקוסיים, ואינו מסתכם בווקטור סכומי \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\). הסיבה: בתנודה חופשית ללא כוחות חיצוניים, במצב שיווי־משקל מתקיים \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), וגודל הייחוס של הסכום הווקטורי צונח ל־\(0\). בערך המקסימלי של הנורמות, ביטול שכזה אינו מתרחש.

כאשר גודל הייחוס נמוך מערך התחתון שהוגדר מראש (\(10^{-8}\)) (למשל באיטרציה הראשונה המתחילה ממצב ללא עומסים), לא מחלקים בגודל הייחוס, אלא משתמשים בנורמת השארית עצמה כגודל הבדיקה. במקרה זה הבדיקה מבוססת על הערך המוחלט של השארית.

קריטריון נורמת התקנה

התקנה \(d\boldsymbol{u}_i\) המתקבלת באיטרציה ה־\(i\) נעשית חסרת־ממד באמצעות תמדת ההזזה \(\Delta\boldsymbol{u}\) שצברה עד כה בתת־הצעד.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

עובדה שהתקנה קטנה דיו ביחס לתמדת ההזזה המצטברת מעידה שהאיטרציה הגיעה לנקודת עיגון. קריטריון זה משמש כבדיקת עזר לבעיות שבהן השארית יורדת לאט. אם המכנה הוא \(0\), נניח שהקריטריון אינו מתקיים.

קריטריון מכפילי Lagrange

באנליזת מגע בשיטת מכפילי Lagrange, מוסיפים לבדיקה את הבטוי החסר־הממד של תקן תיקון המכפילים, המחולק בעוצמת המכפילים עצמם:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

מאחר שאילוצי פער המגע משולבים במערכת המשוואות המשותפת כמשוואה עבור מכפילי Lagrange, אנו מניחים שהאילוץ מתקיים אם המכפילים התכנסו. השארית של הפער עצמו, שבעלת ממד אורך, אינה ניתנת לחיבור עם שארית הכוח, ולכן אינה נכללת בקריטריון נורמת השארית.

מכפילי Lagrange הם כוחות מגע ובעלי אותו הממד של כוח הייחוס \(F_\mathrm{ref}\), ולכן מגבילים את המכנה מלמטה ב־\(F_\mathrm{ref}\). חסירת ממד רק באמצעות \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) גורמת להבדיקה להחמיר ללא גבול במצבים שבהם המגע נושא כמעט לאף עומס, ובנוסף, בצמתים שזה עתה נכנסו למגע, מתקיים \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) תוך ש־\(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), והבדיקה אינה יכולה להתקיים. הטיפול במקרה שהמכנה יורד מתחת לערך התחתון זהה לזה של קריטריון נורמת השארית.

בדיקה לפי הערך המקסימלי

נורת L2 היא סך ריבועים על פני כל דרגות החופש, ולכן שארית הנשארת רק במספר צמתים מתמעטת באופן יחסי ככל שמספר הצמתים גדל, ונמדדת כקטנה. כדי ללכוד מצב שבו שיווי־משקל אינו מתקיים באופן מקומי — כמו בצמתים של מגע — ניתן להשתמש גם בבדיקה המחליפה את נורת L2 בכל הקריטריונים שקדמו לו בערך המקסימלי של הערכים המוחלטים של רכיבי דרגות החופש.

הערך המקסימלי של רכיב התרגום של הווקטור \(\boldsymbol{v}\), עבור צומת \(I\) ודרגת חופש \(k\), מוגדר כך:

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

רכיב הסיבוב \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) מוגדר באופן דומה עבור \(k = 4,5,6\), ועבור מכפילי Lagrange קובעים את הערך המקסימלי של הערכים המוחלטים של כל הרכיבים. גודל הבדיקה מתקבל על ידי החלפת נורת L2 בכל קריטריון בערך המקסימלי הזה, גם במונה וגם במכנה.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

אותו דבר נכון גם לרכיב הסיבוב. הטיפול במקרה שגודל הייחוס נמוך מהערך התחתון, ובמקרה שהמכנה שווה ל־\(0\), זהה לזה שבקריטריון נורת L2.

גם גודל הייחוס מוגדר כערך מקסימלי באותה צורה, כדי לשמור על גודל הבדיקה ברמה דומה לקריטריון נורת L2, ולתת אפשרות להשתמש בסף ברמה דומה. איננו מחלקים כל רכיב של דרגת החופש בגודל ייחוס נפרד, כי בכיוונים שאין בהם עומס גודל הייחוס שואף ל־\(0\) וגודל הבדיקה מאבד משמעות.

בבדיקה לפי הערך המקסימלי, הצומת ודרגת החופש שנתנו את הערך המקסימלי נקבעים. FrontISTR מוציא זאת לקובץ היומן בכל איטרציה, הן עבור השארית והן עבור התקנה.

שילוב הקריטריונים

כל אחד מגדלי הבדיקה שהוגדרו בסעיפים שקדמו (שארית, תקנה, מכפילי Lagrange; רכיב תרגום או סיבוב; נורת L2 או ערך מקסימלי) ניתן להגדרה נפרדת של שימוש בבדיקה (CHECK) או אי־שימוש (SKIP). ברירת המחדל: כל בדיקות נורת L2 מסוג CHECK, וכל בדיקות הערך המקסימלי מסוג SKIP.

קריטריון נורמת השארית וקריטריון נורמת התקנה נחשבים להתכנסות אם אחד מהם מתקיים. לעומת זאת, קריטריון מכפילי Lagrange הוא אישור שאלוצי המגע מתקיימים, ולכן נדרש תמיד באנליזות שבהן קיימים מכפילי Lagrange. בתוך קריטריון אחד, חייבים להתקיים כל רכיבי ה־CHECK בין רכיבי התרגום והסיבוב ובין נורת L2 והערך המקסימלי.

כדי לבטא זאת בנוסחאות, נגדיר לקבוצת גדלי בדיקה \(G\) את שני הגדרים הבאים:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ מתקיים} \ \vee\ m \text{ מסווג SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ מסווג CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) הוא אמת אם אין בקבוצה \(G\) אף גודל בדיקה מסוג CHECK. תנאי ההתכנסות הוא

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{קריטריון מכפילי Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{קריטריון נורמת התקנה}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{קריטריון נורמת התקנה}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{קריטריון נורמת השארית}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{קריטריון נורמת השארית}) \right) \right\} \]

הצמדת \(\mathrm{any\_check}\) לשתי הקבוצות החוברות ב־"או" נועדה למנוע מקבוצה ללא CHECK להעביר את הבדיקה בלי לבדוק אותה. רכיב הסיבוב באנליזה ללא דרגות חופש סיבוביות, וקריטריון מכפילי Lagrange באנליזה ללא מכפילי Lagrange, לא נעשה בהם שימוש בבדיקה גם אם הוגדר להם CHECK. בהגדרות ברירת המחדל, תנאי ההתכנסות הוא

\[ \left( \text{קריטריון מכפילי Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{קריטריון נורמת התקנה} \right) \ \vee\ \left( \text{קריטריון נורמת השארית} \right) \right\} \]

ולכן, באנליזה עם דרגות חופש סיבוביות נבדקים הן רכיבי התרגום והן רכיבי הסיבוב, ובאנליזה ללא מכפילי Lagrange נבדק התנאי ללא קריטריון מכפילי Lagrange.

אופן הגדרת הספים \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) לבדיקה בנורת L2 וערכי ברירת המחדל שלהם מופיעים ב־!STEP; הספים לבדיקות CHECK/SKIP ולבדיקה לפי הערך המקסימלי מופיעים ב־!CONVERG_PARAM; והנחיות לבחירה מופיעים באיטרציה לא־ליניארית ואינטגרציית זמן (פונקציה).

נושאים קשורים