שיטות אנליזה דינמית
בסעיף זה מוצגות שיטות לניתוח בעיות דינמיות באמצעות אינטגרציה ישירה בזמן. להלן הניסוחים של השיטה האימפליציטית והשיטה האקספליציטית.
דיסקרטיזציה של משוואת התנועה (מסגרת משותפת)
טרם נקבע (ייכתב בשלב הבא).
השיטה האימפליציטית (שיטת Newmark-β)
לפתרון משוואת התנועה של בעיות דינמיות הוחלה שיטת אינטגרציה ישירה בזמן, כמוצג במשוואה הבאה.
\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]
כאן \(M\) היא מטריצת המסה, \(C\) היא מטריצת הריסון, \(Q\) הוא וקטור הכוחות הפנימיים ו-\(F\) הוא וקטור הכוחות החיצוניים. מטריצת המסה נחשבת קבועה ואינה תלויה בעיוות גם באנליזה לא־ליניארית.
השינויים בהזזה, במהירות ובתאוצה בתוך תוספת הזמן \(\Delta t\) מקורבים באמצעות שיטת Newmark-\(\beta\), כמתואר במשוואות \(\eqref{eq:2.5.2}\) ו-\(\eqref{eq:2.5.3}\).
\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]
כאן \(\gamma\) ו-\(\beta\) הם הפרמטרים של שיטת Newmark-\(\beta\).
כידוע, כאשר \(\gamma\) ו-\(\beta\) מקבלים את הערכים הבאים מתקבלת שיטת התאוצה הליניארית או כלל הטרפז.
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (שיטת התאוצה הליניארית)
\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (כלל הטרפז)
הצבת משוואות \(\eqref{eq:2.5.2}\) ו-\(\eqref{eq:2.5.3}\) במשוואה \(\eqref{eq:2.5.1}\) נותנת את המשוואה הבאה.
\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]
בפרט, עבור בעיה ליניארית \(K_L\) היא מטריצת הקשיחות הליניארית ו-\(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). הצבת קשר זה במשוואה לעיל נותנת:
\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]
במקומות שבהם תאוצה מוגדרת כתנאי שפה גאומטרי, מתקבלת ההזזה הבאה ממשוואה \(\eqref{eq:2.5.2}\).
\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]
בדומה לכך, במקומות שבהם מוגדרת מהירות, מתקבלת ההזזה הבאה ממשוואה \(\eqref{eq:2.5.6}\).
\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]
כאן, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) היא הזזת הצומת בזמן \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) היא מהירות הצומת בזמן \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) היא תאוצת הצומת בזמן \(t+\Delta{t}\), \(i\) הוא מספר דרגת החופש של הצומת ו-\(s\) הוא מספר הצומת. הטיפול באיבר המסה ובאיבר הריסון הוא כדלהלן.
טיפול באיבר המסה
מטריצת המסה מטופלת, ככלל, כמטריצת מסה מרוכזת.
טיפול באיבר הריסון
איבר הריסון מטופל כריסון Rayleigh המיוצג במשוואה \(\eqref{eq:2.5.8}\).
\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]
כאן \(R_m\) ו-\(R_k\) הם פרמטרים של ריסון Rayleigh.
\(R_m\) ו-\(R_k\) המוגדרים בכרטיס !DYNAMIC מוחלים באופן אחיד על כל המודל. כדי להגדיר ערכי \(R_m\) ו-\(R_k\) שונים לכל חומר, בתוך בלוק !MATERIAL של אותו חומר יש לציין את הכרטיס !DAMPING. עבור אלמנטים השייכים לחומר שבו הוגדר !DAMPING, מטריצת הריסון של האלמנט מחושבת כ-\(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) מתוך מטריצת המסה \(M_i\) ומטריצת הקשיחות המשיקית \(K_i\) של האלמנט, ומשולבת במטריצת הריסון הגלובלית. תכונה זו תקפה רק בשיטה האימפליציטית.
השיטה האקספליציטית (שיטת ההפרש המרכזי)
השיטה האקספליציטית מבוססת על משוואת התנועה בזמן t המוצגת להלן.
\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]
כאן ההזזות בזמנים \(t + \Delta t\) ו-\(t - \Delta t\) מיוצגות באמצעות פיתוח Taylor סביב הזמן \(t\). אם שומרים איברים עד סדר שני ב-\(\Delta t\), מתקבל:
\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]
מההפרש ומהסכום של משוואות \(\eqref{eq:2.5.3}\) ו-\(\eqref{eq:2.5.4}\) מתקבלות המשוואות הבאות.
\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]
הצבת משוואות \(\eqref{eq:2.5.12}\) ו-\(\eqref{eq:2.5.13}\) במשוואה \(\eqref{eq:2.5.9}\) נותנת:
\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]
בפרט, בבעיה ליניארית \(Q(t) = K_L U(t)\), ולכן המשוואה לעיל נעשית:
\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]
כאשר מטריצת המסה \(M\) היא מטריצת מסה מרוכזת ומטריצת הריסון היא מטריצת ריסון יחסי \(C = R_m M\), משוואה \(\eqref{eq:2.5.15}\) אינה דורשת פתרון של מערכת משוואות סימולטנית.
לכן ניתן לחשב את \(U(t+\Delta t)\) ממשוואה \(\eqref{eq:2.5.15}\) באמצעות:
\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]
נושאים קשורים