אנליזה מודאלית¶

בעיית ערכים עצמיים מוכללת¶

באנליזת תנודות חופשיות של רצף, מבצעים דיסקרטיזציה מרחבית וממדלים אותו כמערכת מרובת דרגות חופש בעלת מסות מרוכזות, כמתואר באיור 2.3.1. בבעיה של תנודה חופשית ללא ריסון, המשוואה השלטת (משוואת התנועה) היא כדלהלן.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

כאן, $u$ הוא וקטור ההזזה המוכלל, $M$ היא מטריצת המסה ו־$K$ היא מטריצת הקשיחות. נסמן את התדירות הזוויתית הטבעית ב־$\omega$, ניקח את $a$ ו־$b$ כקבועים שרירותיים שאינם אפס בו־זמנית ואת $x$ כווקטור, ונגדיר את הפונקציה

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

הנגזרת השנייה של פונקציה זו היא

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

בהצבת משוואות $\eqref{eq:2.3.2}$ ו־$\eqref{eq:2.3.3}$ במשוואה $\eqref{eq:2.3.1}$, מתקבל

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

כמתואר לעיל.

בתנודה לא־טריוויאלית, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ אינו אפס זהותית, ולכן

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

מתקבל. לפיכך, אם נגדיר $\lambda=\omega^2$,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

מתקבלת המשוואה לעיל.

למקדם $\lambda$ קוראים ערך עצמי ולווקטור $x$ קוראים וקטור עצמי; הבעיה המתוארת במשוואה $\eqref{eq:2.3.5}$ נקראת בעיית ערכים עצמיים מוכללת.

מן הערך העצמי $\lambda=\omega^2$ מתקבלת התדירות הזוויתית הטבעית $\omega$, והווקטור העצמי המתאים $x$ מייצג את צורת התנודה.

דוגמה למערכת מרובת דרגות חופש בתנודה חופשית ללא ריסון

איור 2.3.1　דוגמה למערכת מרובת דרגות חופש בתנודה חופשית ללא ריסון

תכונות והנחות של המטריצות¶

עבור בעיית הערכים העצמיים המוכללת $Kx=\lambda Mx$ שהתקבלה בסעיף הקודם, מדריך זה מניח שהמטריצות הנדונות סימטריות. במטריצות מרוכבות משמעות הדבר מטריצה הרמיטית, ובמטריצות ממשיות — מטריצה סימטרית.

אם האיבר $ij$ של המטריצה $K$ מסומן ב־$k_{ij}$, תכונת ההרמיטיות נכתבת כך:

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

כאן, $\bar{k}_{ji}$ הוא הצמוד המרוכב של $k_{ji}$. במטריצה ממשית, קשר זה נעשה $k_{ij}=k_{ji}$.

כמו כן, מטריצה ממשית סימטרית $H$ היא חיובית־מוגדרת כאשר לכל וקטור לא־אפס $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

מתקיים אי־השוויון לעיל. במקרה זה, כל הערכים העצמיים של $H$ חיוביים.

בבעיית ערכים עצמיים מבנית, מטריצת המסה $M$ נחשבת בדרך כלל חיובית־מוגדרת. לעומת זאת, מטריצת הקשיחות $K$ עשויה להיות חיובית למחצה, בהתאם לאילוצים, ולהכיל ערכים עצמיים אפסיים המתאימים לאופני גוף קשיח.

איטרציה הפוכה עם היסט¶

באנליזה מבנית בשיטת האלמנטים הסופיים אין בדרך כלל צורך בכל הערכים העצמיים; לעיתים קרובות די במספר קטן של ערכים עצמיים מסדר נמוך. HEC-MW מיועדת לבעיות בקנה מידה גדול, שבהן המטריצות גדולות ודלילות מאוד, עם איברי אפס רבים. לכן חשוב לחשב ביעילות את הערכים העצמיים של האופנים מסדר נמוך תוך התחשבות במאפיינים אלה.

עבור היסט $\sigma$, אם $-\sigma$ אינו ערך עצמי ואם $K+\sigma M$ אינה סינגולרית, ניתן להמיר את משוואה $\eqref{eq:2.3.5}$ לצורה הבאה.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

בהמרה זו הווקטור העצמי $x$ אינו משתנה, והערך העצמי $\lambda$ ממופה ל־$1/(\lambda+\sigma)$.

לכן, ככל ש־$\lambda$ קרוב יותר ל־$-\sigma$, הערך המוחלט של הערך העצמי המומר גדול יותר. בבעיית ערכים עצמיים מבנית מתקיים $\lambda \geq 0$ וגם $\sigma \geq 0$, ולכן הערך העצמי הנמוך ביותר ממופה לערך העצמי בעל הערך המוחלט הגדול ביותר. באמצעות תכונה זו, החלת שיטה איטרטיבית הנוטה להתכנס תחילה לערכים עצמיים בעלי ערך מוחלט גדול על משוואה $\eqref{eq:2.3.8}$ מאפשרת לחשב ביעילות את הערכים העצמיים מסדר נמוך לפי סדר עולה.

שיטה זו נקראת איטרציה הפוכה עם היסט.

ב־FrontISTR, באנליזה בעלת אילוצים מציבים $\sigma = 0$, ומשוואה $\eqref{eq:2.3.8}$ נעשית $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, כלומר איטרציה הפוכה ללא היסט. באנליזה חופשית־חופשית ללא אילוצים, $K$ סינגולרית מפני שיש לה ערכים עצמיים אפסיים המתאימים לאופני גוף קשיח; מתן ערך חיובי ל־$\sigma$ הופך את $K+\sigma M$ ללא־סינגולרית. את $\sigma$ מציינים באמצעות SIGMA ב־!EIGEN.

שיטת Lanczos¶

הסיבה לבחירה (השוואה לשיטת Jacobi)¶

שיטת Jacobi היא שיטה קלאסית מוכרת.

היא יעילה כאשר המטריצה קטנה וצפופה. אולם, מפני שהמטריצות המטופלות ב־HEC-MW גדולות ודלילות, שיטת Jacobi אינה משמשת; במקומה משמשת שיטת Lanczos האיטרטיבית.

אלגוריתם ומאפיינים¶

שיטה זו, שהוצעה בידי C. Lanczos בשנות ה־1950, היא אלגוריתם להפחתת מטריצה לצורה תלת־אלכסונית, ויש לה המאפיינים הבאים.

זוהי שיטה איטרטיבית, והיא מאפשרת לבצע את החישוב תוך שמירת דלילות המטריצה.
הפעולות בה הן בעיקר מכפלות מטריצה־וקטור, ולכן היא מתאימה למקביליות.
היא מתאימה לפירוק תחום גאומטרי הקשור לרשתות אלמנטים סופיים.
ניתן לבצע חישוב יעיל באמצעות הגבלת מספר הערכים העצמיים או טווח האופנים המבוקש.

שיטת Lanczos מתחילה בווקטור התחלתי, בונה בזה אחר זה וקטורים אורתוגונליים ומפיקה בסיס לתת־מרחב Krylov.

באריתמטיקה בעלת דיוק סופי, שגיאת עיגול עלולה לגרום לאובדן האורתוגונליות בין הווקטורים. כדי לצמצם השפעה זו, מימוש FrontISTR מבצע אורתוגונליזציה מחדש של כל וקטור ביחס לווקטורי בסיס Lanczos שכבר התקבלו.

פירוש גאומטרי (תת־מרחב Krylov)¶

באמצעות התמרות המשתנים הבאות במשוואה $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ניתן לכתוב מחדש את הבעיה כך:

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ומתקבלת המשוואה לעיל.

עבור וקטור שרירותי לא־אפס $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

המרחב הנפרש בידי הווקטורים לעיל, כלומר

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

נקרא תת־מרחב Krylov.

שיטת Lanczos בונה בזה אחר זה בסיס לתת־מרחב Krylov זה.

FrontISTR משתמשת במכפלה הפנימית הבאה הקשורה למטריצת המסה $M$,

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

כדי להפוך את הבסיס לאורתונורמלי. המכפלה הפנימית $\langle x,y\rangle$ והנורמה $\|x\|$ המוצגות באיורים הבאים מתפרשות בחישובי FrontISTR, בהתאמה, כמכפלה פנימית $M$ זו וכנורמת $M$ המתאימה,

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

בהתאמה.

מחילים את ההעתקה הליניארית המוגדרת על ידי המטריצה $A$ על וקטור שרירותי $q_0$, כמתואר באיור 2.3.2.

$העתקה ליניארית של $q_0$ באמצעות המטריצה $A$$

איור 2.3.2　העתקה ליניארית של $q_0$ באמצעות המטריצה $A$

הווקטור המומר עובר אורתוגונליזציה במרחב הנפרש על ידיו ועל ידי הווקטור המקורי. ליתר דיוק, מבוצעת אורתוגונליזציית Gram–Schmidt כמתואר באיור 2.3.3. נסמן את הווקטור המתקבל ב־$r_1$; נרמולו נותן את $q_1$.

$הווקטור $q_1$ האורתוגונלי ל־$q_0$$

איור 2.3.3　הווקטור $q_1$ האורתוגונלי ל־$q_0$

באותו הליך מתקבל $q_2$ מתוך $q_1$. כאן, $q_2$ אורתוגונלי גם ל־$q_1$ וגם ל־$q_0$, כמתואר באיור 2.3.4.

$הווקטור $q_2$ האורתוגונלי ל־$q_1$ ול־$q_0$$

איור 2.3.4　הווקטור $q_2$ האורתוגונלי ל־$q_1$ ול־$q_0$

באופן זה שיטת Lanczos בונה בזה אחר זה בסיס אורתונורמלי לתת־מרחב Krylov. מבחינה תאורטית, הסימטריה של בעיית הערכים העצמיים מאפשרת לבטא איטרציה זו באמצעות נוסחת נסיגה בת שלושה איברים, המשתמשת בווקטורי הבסיס האחרונים.

עם זאת, כדי לצמצם את אובדן האורתוגונליות הנובע מאריתמטיקה בעלת דיוק סופי, מימוש FrontISTR מבצע אורתוגונליזציה מחדש ביחס לווקטורי בסיס Lanczos שכבר התקבלו, באמצעות המכפלה הפנימית $M$.

הפחתה לצורה תלת־אלכסונית¶

באיטרציית Lanczos של FrontISTR, וקטורי הבסיס עוברים אורתונורמליזציה ביחס למכפלה הפנימית $M$ שתוארה בסעיף הקודם, ולכן

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

מתקיים הקשר לעיל.

באמצעות המטריצה $A$ ממשוואה $\eqref{eq:2.3.10}$, איטרציית Lanczos התאורטית נכתבת

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

באמצעות נוסחת הנסיגה בת שלושת האיברים לעיל.

תחילה מגדירים את $\alpha_i$ כך:

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

לאחר מכן מגדירים את השארית הזמנית

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

כמתואר לעיל.

כדי לצמצם את אובדן האורתוגונליות הנובע מאריתמטיקה בעלת דיוק סופי, מימוש FrontISTR מבצע אורתוגונליזציה מחדש של $\tilde{r}_{i+1}$ ביחס לווקטורי בסיס Lanczos שכבר התקבלו, באמצעות המכפלה הפנימית $M$. אם $r_{i+1}$ היא השארית לאחר האורתוגונליזציה מחדש, אז

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

מתקיימים הקשרים לעיל.

נאסוף את $m$ וקטורי הבסיס שהתקבלו באיטרציית Lanczos בתוך

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

אז, לאחר מספר סופי של איטרציות Lanczos,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

מתקיים הקשר לעיל.

כאן, $e_m$ הוא וקטור היחידה ה־$m$-ממדי שרכיבו ה־$m$-י הוא 1 וכל יתר רכיביו אפס, ו־

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

היא מטריצה סימטרית תלת־אלכסונית.

לכן, באמצעות חישוב הערכים העצמיים של המטריצה התלת־אלכסונית $T_m$, ניתן לקרב את הערכים העצמיים של בעיית הערכים העצמיים הגדולה המקורית.

נושאים קשורים¶

אנליזת תגובת תדר — תגובת תדר המשתמשת בתוצאות האנליזה המודאלית
סוגי אנליזה — סקירת היכולות של אנליזה מודאלית