לדלג לתוכן

אנליזת תגובת תדר

ניסוח הבעיה

אנליזת תגובת תדר מעריכה בתחום התדר את משרעת התגובה ואת המופע של המערכת במצב יציב כאשר הכוח החיצוני משתנה באופן הרמוני בזמן. מאחר שהמסגרת של משוואת התנועה שונה כאשר יש ריסון וכאשר אין ריסון, בפרק זה נגזרים תחילה האופנים העצמיים מתוך תנודה חופשית ללא ריסון, ולאחר מכן הם משמשים כבסיס מודלי לפיתוח התגובה ההרמונית תחת ריסון.

תנודה חופשית ללא ריסון ואופנים עצמיים

כאשר לא מתחשבים בריסון, משוואת התנועה היא:

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

כאשר מפתחים אותה לפי כל אופן עצמי,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

מתקבל. הצבה במשוואה \(\eqref{eq:2.6.1}\) נותנת:

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

זוהי בעיית ערכים עצמיים מוכללת. שיטות הפתרון הנומריות שלה (איטרציה הפוכה עם הזזה ושיטת Lanczos) נידונות ב-אנליזה מודאלית. בסעיף זה מסוכמות התכונות של התדרים הטבעיים והאופנים העצמיים המתקבלים, שבהן משתמשים בפיתוח התגובה ההרמונית בהמשך.

ממשיות התדרים הטבעיים

ניתן להוכיח שהתדר הטבעי הוא ממשי באופן הבא. נגדיר \(\omega_j^2 = \lambda_j\), וניקח את הצמוד המרוכב של משוואה \(\eqref{eq:2.6.3}\); מתקבלת משוואה \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

כפל ב-\(\overline{U}_J^T\) נותן:

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ממשוואה \(\eqref{eq:2.6.5}\) מתקבל:

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

כאן, מאחר שמטריצת המסה היא סימטרית וחיובית־מוגדרת, עבור וקטור עצמי שאינו וקטור האפס מתקיים:

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ולכן:

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ומכאן \(\omega_j^2 = \lambda_j\) הוא ממשי.

אורתוגונליות ונרמול של אופנים עצמיים

נבחן שני אופנים שונים.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

מכאן מתקבל:

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

וכאשר הערכים העצמיים שונים:

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

כלומר, אופנים עצמיים שונים אורתוגונליים ביחס למטריצת המסה. עבור אותו אופן, נרמול ביחס למטריצת המסה לפי משוואה \(\eqref{eq:2.6.12}\) מקל על הטיפול בהמשך.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

תגובה הרמונית תחת ריסון

להלן מוצג הניסוח של אנליזת תגובת תדר כאשר מתחשבים בריסון. משוואת התנועה הנידונה מוצגת במשוואה \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

מניחים שאיבר הריסון הוא מסוג Rayleigh וניתן לבטאו לפי \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

באמצעות הווקטורים העצמיים שהתקבלו באנליזה המודאלית, ניתן לפתח את וקטור ההזזה בזמן t לפי משוואה \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

כאשר איבר הכוח החיצוני הוא אוסצילטור הרמוני מן הצורה

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

קובעים את \(b_{j}(t)\). מאחר שמשוואת התנועה \(\eqref{eq:2.6.13}\) מקבלת צורה של תנודה מאולצת,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

מתקיים. החלק הממשי והחלק המדומה של מקדם הפיתוח \(b_{j}(t)\) מתקבלים בצורה של משוואה \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ומשוואה \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

כך מתקבלים מקדמי התגובה ההרמונית.

נושאים קשורים