לדלג לתוכן

אימות באמצעות מודל בעל צורה פשוטה

אנליזה סטטית אלסטית

באימות זה נעשה שימוש בקורה זיזית שרושתה כפי שמוצג באיור 9.1.1. בוצעו ניתוחים עבור שבעה מקרים, exA עד exG, כאשר תנאי ההעמסה שונו כפי שמוצג באיור 9.1.2. למקרה exG אותם תנאי העמסה כמו exA, אך הוא משתמש בפותר ישיר.

תוצאת האימות לכל תנאי עומס מוצגת בטבלאות 9.1.1–9.1.7.

דוגמה לרשת של קורה זיזית (אלמנטים הקסהדרליים) איור 9.1.1 דוגמה לרשת של קורה זיזית (אלמנטים הקסהדרליים)
(a) exA, G: עומס מרוכז
(b) exD: כבידה
(c) exB: עומס משטחי מפולג
(d) exE: כוח צנטריפוגלי
(e) exC: עומס נפחי
(f) exF : עומס תרמי
פריט ערך
מודול יאנג \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
אורך \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
יחס פואסון \(\nu = 0.3\)
שטח חתך \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
צפיפות מסה \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
מומנט שני של השטח \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
תאוצת כבידה \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
מקדם התפשטות תרמית ליניארי \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

איור 9.1.2 תנאי אימות של מודל הקורה הזיזית

טבלה 9.1.1: exA: תוצאות אימות של בעיית העומס המרוכז

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max}= -1.000\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 צמתים
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 צמתים
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 צמתים
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 צמתים
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 צמתים
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 צמתים
A731 40 - - -0.991 33 צמתים / שיטה ישירה
A741 20 - - -0.996 33 צמתים / שיטה ישירה

טבלה 9.1.2: exB: תוצאות אימות של בעיית העומס המשטחי המפולג

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max}= -3.750\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 צמתים
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 צמתים
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 צמתים
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 צמתים
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 צמתים
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 צמתים
B731 40 - - -3.722 33 צמתים / שיטה ישירה
B741 20 - - -3.743 33 צמתים / שיטה ישירה

טבלה 9.1.3: exC: תוצאות אימות של בעיית העומס הנפחי

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 צמתים
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 צמתים
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 צמתים
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 צמתים
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 צמתים
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 צמתים
C731 40 - - -2.922e-5 33 צמתים / שיטה ישירה
C741 20 - - -2.938e-5 33 צמתים / שיטה ישירה

טבלה 9.1.4: exD: תוצאות אימות של בעיית הכבידה

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 צמתים
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 צמתים
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 צמתים
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 צמתים
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 צמתים
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 צמתים
D731 40 - - -2.922e-5 33 צמתים / שיטה ישירה
D741 20 - - -2.938e-5 33 צמתים / שיטה ישירה

טבלה 9.1.5: exE: תוצאות אימות של בעיית הכוח הצנטריפוגלי

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 צמתים
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 צמתים
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 צמתים
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 צמתים
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 צמתים
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 צמתים
E731 40 - - 2.619e-3 33 צמתים / שיטה ישירה
E741 20 - - 2.622e-3 33 צמתים / שיטה ישירה

טבלה 9.1.6: exF: תוצאות אימות של בעיית עומס המאמץ התרמי

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 צמתים
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 צמתים
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 צמתים
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 צמתים
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 צמתים
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 צמתים

טבלה 9.1.7: exG: תוצאות אימות של השיטה הישירה (בעיית עומס מרוכז)

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: δmax= -1.000 הערות
NASTRAN מסחרי FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 צמתים
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 צמתים
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 צמתים
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 צמתים
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 צמתים
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 צמתים
G731 40 - - -0.991 33 צמתים / שיטה ישירה
G741 20 - - -0.996 33 צמתים / שיטה ישירה

אנליזה סטטית לא־ליניארית

(2-1) exnl1: אנליזה אי־ליניארית גאומטרית

מודל האימות עבור המקרה exI זהה למודלים עבור המקרים exA עד exG. איור 9.1.3 מציג תרשים סכמטי של מודל האימות. על מודל זה מבוצעת אנליזה אי־ליניארית גאומטרית. תוצאות האימות מוצגות בטבלה 9.1.8.

החישוב הלא־ליניארי משתמש בעומס ייחוס של \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), ומתבצע ב־10 צעדי עומס, בתוספת עומס של \(0.1P\) בכל צעד.

מודל האימות איור 9.1.3 מודל האימות

טבלה 9.1.8 exI: תוצאות אימות (היסטוריית השקיעה המרבית)

שם המקרה 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 פתרון ליניארי
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: אנליזת עיוות אלסטו־פלסטי

בעיית אימות זו מבוססת על Test NL1 של NAFEMS מטעם National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), ומבצעת אנליזת עיוות אלסטו־פלסטי הכוללת אי־ליניאריות גאומטרית ומספר חוקי הקשיה. איור 9.1.4 מציג את מודל הניתוח.

מודל אנליזת עיוות אלסטו־פלסטי

איור 9.1.4 מודל אנליזת עיוות אלסטו־פלסטי

(1) תנאי אימות

פריט ערך
חומר חומר אלסטו־פלסטי לפי Mises
מודול יאנג \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
יחס פואסון \(\nu=0.25\)
מאמץ תחילת הכניעה \(5\ \mathrm{MPa}\)
עיבור כניעה התחלתי \(0.25\times10^{-4}\)
מקדם הקשיה איזוטרופית \(H_i = 0\) או \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) תנאי שפה

פריט תנאי שפה ערך
צעד 1 הזזה מוכתבת בצמתים 2 ו-3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
צעד 2 הזזה מוכתבת בצמתים 2 ו-3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
צעד 3 הזזה מוכתבת בצמתים 3 ו-4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
צעד 4 הזזה מוכתבת בצמתים 3 ו-4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
צעד 5 הזזה מוכתבת בצמתים 2 ו-3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
צעד 6 הזזה מוכתבת בצמתים 2 ו-3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
צעד 7 הזזה מוכתבת בצמתים 3 ו-4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
צעד 8 הזזה מוכתבת בצמתים 3 ו-4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

כל הצמתים שאינם מפורטים כאן מרוסנים לחלוטין. הפתרון התאורטי לבעיה זו הוא כדלקמן.

עיבור (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 מאמץ שקול (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

לשם השוואה, תוצאות החישוב הן כדלקמן.

עיבור (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 מאמץ שקול (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

אנליזת מגע (1)

בעיית אימות זו מבוססת על בעיית מבחן טלאי המגע CGS-4 של National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), ובוחנת את יכולת המגע בהחלקה סופית עם חיכוך. איור 9.1.5 מציג את מודל הניתוח.

מודל ניתוח המגע

איור 9.1.5 מודל ניתוח המגע

תנאי שיווי המשקל לבעיה זו הוא כדלקמן.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

בשלב החיכוך ללא החלקה, כוח החיכוך הוא

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

ובשלב החיכוך עם החלקה, הוא

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

ההשוואה בין תוצאות החישוב לפתרון האנליטי היא כדלקמן.

\(\mu\) \(F/G\) פתרון אנליטי \(F/G\) תוצאות חישוב
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

אנליזת מגע (2): בעיית מגע Hertz

באימות זה מנותחת בעיית מגע Hertz בין גליל ארוך אינסופית למישור אינסופי. רדיוס הגליל הוא \(R = 8\ \mathrm{mm}\), ומודול יאנג \(E\) ויחס פואסון \(\mu\) של הגוף הניתן לעיוות הם \(1100\ \mathrm{MPa}\) ו־\(0.0\), בהתאמה. מניחים ששטח המגע קטן במידה מספקת ביחס לרדיוס הגליל, ובהתחשב בסימטריה של הבעיה מנותח מודל של רבע גליל.

מודל ניתוח לבעיית מגע Hertz איור 9.1.6 מודל ניתוח לבעיית מגע Hertz

(1) תוצאות אימות של רדיוס המגע

הנוסחה התאורטית לחישוב רדיוס המגע היא כדלקמן:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

כאשר

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. בתנאי החישוב הנוכחיים, כאשר הלחץ הוא \(F=100\), רדיוס המגע הוא \(a=1.36\).

איור 9.1.7 מציג את הכוחות הצומתיים השקולים בנקודות המגע. רדיוס המגע מתקבל באמצעות אקסטרפולציה של התפלגות הכוח הצומתי.

התפלגות הכוח הצומתי השקול בנקודות המגע

איור 9.1.7 התפלגות הכוח הצומתי השקול בנקודות המגע

(2) תוצאות אימות של מאמץ הגזירה המרבי

בפתרון התאורטי, במיקום המגע

\[ z = 0.78a \]

מאמץ הגזירה המרבי הוא

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. בתנאי החישוב הנוכחיים,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. לשם השוואה, החישוב נותן

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

התפלגות מאמץ הגזירה (ערך מרבי = 15.6) איור 9.1.8 התפלגות מאמץ הגזירה (ערך מרבי = 15.6)

(3) אנליזה מודאלית

מודלי האימות עבור המקרים exJ ו-exK זהים למודלים עבור המקרים exA עד exG. איור 9.1.9 מציג תרשים סכמטי של מודל האימות. על מודל זה מבוצעת אנליזה מודאלית. מחושבים שלושת התדרים הטבעיים הראשונים. המקרה exJ משתמש בפותר איטרטיבי, ואילו המקרה exK משתמש בפותר ישיר. תוצאות האימות מוצגות בטבלאות 9.1.9–9.1.12.

מודל האימות איור 9.1.9 מודל האימות

התדירויות הטבעיות של הקורה הזיזית מתקבלות מן המשוואות הבאות.

התדירות הטבעית הראשונה

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

התדירות הטבעית השנייה

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

התדירות הטבעית השלישית

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

ערכי התכונות של מודל האימות הם

פריט ערך
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

לפיכך התדרים הטבעיים עד לאופן השלישי הם כדלקמן:

מספר אופן ערך
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

טבלה 9.1.9: exJ: תוצאות אימות בשיטה איטרטיבית עבור התדר הטבעי הראשון

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: n1=3.609e3 הערות
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 צמתים
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 צמתים
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 צמתים
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 צמתים
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 צמתים
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 צמתים

טבלה 9.1.10: תוצאות אימות בשיטה איטרטיבית של exJ עבור התדר הטבעי השני

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: n2=2.262e4 הערות
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 צמתים
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 צמתים
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 צמתים
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 צמתים
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 צמתים
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 צמתים

הערה: במודלים תלת־ממדיים (3D), האופן הראשון והאופן השני מנוונים ובעלי אותו תדר טבעי. לכן התדר הטבעי השלישי שחושב מדווח בטבלה כתדר הטבעי השני.

טבלה 9.1.11: תוצאות אימות בשיטה הישירה של exK עבור התדר הטבעי הראשון

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: n1=3.609e3 הערות
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 צמתים
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 צמתים
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 צמתים
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 צמתים
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 צמתים
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 צמתים
J731 40 - 3.606e3 220 צמתים
J741 20 - 3.594e3 220 צמתים

טבלה 9.1.12: תוצאות אימות בשיטה הישירה של exK עבור התדר הטבעי השני

שם המקרה מספר אלמנטים ערך חזוי: n2=2.262e4 הערות
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 צמתים / בעיית מצב מאמץ מישורי
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 צמתים
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 צמתים
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 צמתים
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 צמתים
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 צמתים
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 צמתים
J731 40 - 2.156e4 220 צמתים
J741 20 - 2.153e4 220 צמתים

הערה: במודלים תלת־ממדיים, האופן הראשון והאופן השני מנוונים ובעלי אותו תדר טבעי. לכן התדר הטבעי השלישי שחושב מדווח בטבלה כתדר הטבעי השני.

(4) אנליזת הולכת חום

התנאים המשותפים לניתוחי הולכת חום במצב יציב מוצגים באיור 9.1.10. התנאים הנפרדים למקרי האימות exM עד exT מוצגים באיור 9.1.11. חלוקת הרשת שקולה לזו המשמשת עבור exA.

תוצאות האימות (טבלת התפלגות טמפרטורה) של כל מקרה מוצגות בטבלאות 9.1.13–9.1.20.

אנליזת הולכת חום
אורך בין AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
שטח חתך \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

תלות המוליכות התרמית בטמפרטורה

מוליכות תרמית \(\lambda\) (W/(m·K)) טמפרטורה (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

איור 9.1.10: תנאי אימות של אנליזת הולכת חום במצב יציב
exM: חומר ליניארי
exN: בעיית טמפרטורה נתונה
exO: בעיית שטף חום מרוכז
exP: בעיית שטף חום מפולג
exQ: בעיית מעבר חום בהסעה
exR: בעיית מעבר חום בקרינה
exS: בעיית יצירת חום נפחית
exT: בעיית מרווח פנימי

איור 9.1.11: תנאי הניתוח לכל מקרה אימות

טבלה 9.1.13: תוצאות אימות של exM (חישוב מצב יציב של חומר ליניארי)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

טבלה 9.1.14: תוצאות אימות של exN (בעיית טמפרטורה נתונה)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

טבלה 9.1.15: תוצאות אימות של exO (בעיית שטף חום מרוכז)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

טבלה 9.1.16: תוצאות אימות של exP (בעיית שטף חום מפולג)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

טבלה 9.1.17: תוצאות אימות של exQ (בעיית מעבר חום בהסעה)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

טבלה 9.1.18: תוצאות אימות של exR (בעיית מעבר חום בקרינה)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

טבלה 9.1.19: תוצאות אימות של exS (בעיית יצירת חום נפחית)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

טבלה 9.1.20: תוצאות אימות של exT (בעיית מרווח פנימי)

שם המקרה סוג אלמנט אלמנטים/צמתים מרחק מקצה A (m)
קצה A 2.0 4.0 6.0 8,0 קצה B
מסחרי 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

אנליזה דינמית ליניארית

ב-exW מבוצעת אנליזה דינמית ליניארית על אותה קורה זיזית כמו בפריט (1). איור 9.1.12 מציג את תנאי האימות. עבור אותה חלוקת רשת, נבדקת השפעת תוספת הזמן על התוצאות. נעשה שימוש הן בשיטות אינטגרציה בזמן אימפליציטית והן בשיטות אקספליציטיות, עם סוגי האלמנטים 361 ו-342. תוצאות האימות מוצגות בטבלה 9.1.22 ובאיורים 9.1.13–9.1.15.

מודל הניתוח מודל הניתוח

היסטוריית הזמן של הכוח החיצוני F היסטוריית הזמן של הכוח החיצוני F

הפתרון התאורטי להזזה בנקודת הרטט הוא כדלקמן:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

כאשר

\[ \(F_0:\ \text{וקטור קבוע}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

איור 9.1.12: תנאי אימות של אנליזה דינמית ליניארית

תנאי אימות:
אורך \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
רוחב חתך \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
גובה חתך \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
מודול יאנג \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
יחס פואסון \(\nu\) \(0.3\)
צפיפות \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
תאוצת כבידה \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
כוח חיצוני \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
אלמנט אלמנט הקסהדרלי ליניארי
אלמנט טטרהדרלי מסדר שני
שיטת פתרון שיטה אימפליציטית
בשיטת Newmark-\(\beta\), הפרמטר \(\gamma\) 1/2
פרמטר \(\beta\) של שיטת Newmark-\(\beta\) 1/4
שיטה אקספליציטית
ריסון ללא

טבלה 9.1.21: תנאי אימות של הניתוח הדינמי הליניארי (המשך)

שם המקרה סוג אלמנט מספר צמתים מספר אלמנטים שיטת פתרון תוספת הזמן \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 שיטה אקספליציטית 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.0E-07

טבלה 9.1.22: תוצאות אימות של אנליזה דינמית ליניארית עבור exW (קורה זיזית)

שם המקרה סוג אלמנט מספר צמתים מספר אלמנטים שיטה הזזה בכיוון z בזמן \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 שיטה אימפליציטית 1.9753 התבדר
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 שיטה אקספליציטית 1.9753 התבדר

תרשים העיוות והתפלגות המאמץ השקול של הקורה הזיזית איור 9.1.13: תרשים העיוות והתפלגות המאמץ השקול של הקורה הזיזית

(a) סוג אלמנט 361: שיטה אימפליציטית (a) סוג אלמנט 361: שיטה אימפליציטית

(b) סוג אלמנט 361: שיטה אקספליציטית (b) סוג אלמנט 361: שיטה אקספליציטית

איור 9.1.14 היסטוריית הזמן של ההזזה \(u_z\) בנקודת העירור

(a) סוג אלמנט 342: שיטה אימפליציטית (a) סוג אלמנט 342: שיטה אימפליציטית

(b) סוג אלמנט 342: שיטה אקספליציטית (b) סוג אלמנט 342: שיטה אקספליציטית

איור 9.1.15: היסטוריית הזמן של ההזזה \(u_z\) בנקודת העירור

אנליזת תגובת תדר

באימות זה מבוצעת אנליזת תגובת תדר על קורה זיזית ומאומתת באמצעות השוואה לתוצאות של פותר מסחרי כללי. מודל הניתוח ותנאי האימות מוצגים להלן.

תנאי הניתוח:
מודול יאנג \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
יחס פואסון \(\nu\) \(0.3\)
צפיפות \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
תאוצת כבידה \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
עומס \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
פרמטר ריסון Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
פרמטר ריסון Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

איור 9.1.16: מודל הניתוח (אלמנט טטרהדרלי מסדר ראשון, 126 אלמנטים ו-55 צמתים)

חמשת התדרים הטבעיים הראשונים שהתקבלו מאנליזה מודאלית ותגובת התדר בנקודת העירור הם כדלקמן:

אופן FrontISTR מסחרי
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

תלות התדר של משרעת ההזזה בנקודות הרטט איור 9.1.17: תלות התדר של משרעת ההזזה בנקודות הרטט