अरैखिक पुनरावृत्ति और समय समाकलन¶

FrontISTR प्रत्येक चरण के वृद्धि नियंत्रण के भीतर हर उपचरण पर अरैखिक पुनरावृत्तियों और समय समाकलन को संयोजित करके समाधान को आगे बढ़ाता है। यह पृष्ठ बाहरी चरण नियंत्रण और आंतरिक रैखिक सॉल्वर के बीच स्थित पुनरावृत्ति संरचनाओं का वर्णन करता है: Newton-Raphson पुनरावृत्तियाँ, संपर्क पुनरावृत्तियाँ, गतिशील विश्लेषण के लिए समय समाकलन, तथा क्षणिक ऊष्मा चालन में समय-अग्रगमन और अरैखिक पुनरावृत्ति का ढाँचा।

अवलोकन¶

किसी चरण के भीतर अरैखिक समाधान और समय समाकलन की संरचना बाहर से भीतर की ओर अनेक नेस्टेड लूपों से बनी होती है। प्रत्येक स्तर की भूमिका निम्न है।

स्तर	भूमिका	मुख्य संदर्भ पृष्ठ
चरण लूप	पूरे विश्लेषण को अनेक चरणों में विभाजित करता है और सीमा शर्तें, भार, संपर्क तथा तत्व सक्रियण बदलता है।	चरण नियंत्रण
उपचरण लूप	एक चरण को समय-वृद्धियों में विभाजित करता है और स्थिर वृद्धि या स्वचालित वृद्धि तथा cutback से आगे बढ़ाता है।	चरण नियंत्रण
समय-समाकलन अवस्था अग्रगमन	गतिशील विश्लेषण और क्षणिक ऊष्मा चालन में पिछले चरण की अवस्था से अगले समय की अवस्था प्राप्त करता है।	यह पृष्ठ
संपर्क-अवस्था खोज लूप	संपर्क विश्लेषण में संपर्क अवस्था (संपर्क/अलगाव) में परिवर्तन खोजता है और कठोरता मैट्रिक्स की संरचना अद्यतन करता है।	यह पृष्ठ
संवर्धित Lagrange बाहरी पुनरावृत्ति	`ALAGRANGE` संपर्क में संपर्क-प्रतिबंध सटीकता को क्रमशः सुधारती है।	यह पृष्ठ
Newton पुनरावृत्ति	Newton-Raphson विधि द्वारा अरैखिक संतुलन समीकरणों को पुनरावृत्त रूप से हल करती है।	यह पृष्ठ
रैखिक-तंत्र समाधान	प्रत्येक Newton पुनरावृत्ति पर स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स पर आधारित रैखिक तंत्र हल करता है।	सॉल्वर और पूर्वानुकूलन

इनमें से कौन-से स्तर उपस्थित होंगे, यह विश्लेषण प्रकार पर निर्भर करता है।

विश्लेषण प्रकार	समय समाकलन	संपर्क-अवस्था खोज	बाहरी पुनरावृत्ति	Newton पुनरावृत्ति
रैखिक स्थैतिक विश्लेषण	—	—	—	—
अरैखिक स्थैतिक विश्लेषण (संपर्क के बिना)	—	—	—	हाँ
अरैखिक स्थैतिक विश्लेषण (`SLAGRANGE` संपर्क)	—	हाँ	—	हाँ
अरैखिक स्थैतिक विश्लेषण (`ALAGRANGE` संपर्क)	—	हाँ	हाँ	हाँ
गतिशील विश्लेषण, अंतर्निहित	Newmark-β	—	—	हाँ (अरैखिक होने पर)
गतिशील विश्लेषण, स्पष्ट	केंद्रीय अंतर	—	—	—
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण	मोडल अध्यारोपण	—	—	—
क्षणिक ऊष्मा चालन	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	हाँ (जब सामग्री गुण तापमान पर निर्भर हों)
स्थिर ऊष्मा चालन	—	—	—	हाँ (जब सामग्री गुण तापमान पर निर्भर हों)

संपर्क प्रकार और एल्गोरिदम के चयन के लिए संपर्क और एम्बेडिंग देखें। यह पृष्ठ बताता है कि चयनित एल्गोरिदम को पुनरावृत्ति लूप के रूप में कैसे व्यवस्थित किया जाता है।

समाधान योजना का चयन¶

पुनरावृत्ति संरचना चयनित विश्लेषण प्रकार (विश्लेषण प्रकार), अरैखिकता की उपस्थिति या अनुपस्थिति (ज्यामितीय अरैखिकता, सामग्री अरैखिकता या संपर्क), और संपर्क एल्गोरिदम (SLAGRANGE या ALAGRANGE) से स्वचालित रूप से निर्धारित होती है। उपयोगकर्ता पुनरावृत्ति संख्या की ऊपरी सीमाएँ और अभिसरण मानदंड सीधे समायोजित करता है।

इन सेटिंगों को समायोजित करते समय निम्न दिशानिर्देश लागू होते हैं।

मानक विश्लेषणों में पुनरावृत्ति संख्या की डिफ़ॉल्ट ऊपरी सीमा सामान्यतः पर्याप्त होती है। यदि कठिन-अभिसरण समस्या अधिकतम पुनरावृत्ति संख्या तक पहुँचने पर भी अभिसरित न हो, तो पहले cutback (चरण नियंत्रण) का उपयोग करें; केवल इससे अभिसरण न सुधरे तो ऊपरी सीमा बढ़ाएँ।
विश्लेषण स्थिरता और गणना समय के संतुलन हेतु अभिसरण मानदंड समायोजित करें। कठोर मानदंड संतुलन सटीकता सुधारते हैं, पर पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ाते हैं। संपर्क विश्लेषण और Lagrange गुणकों वाले विश्लेषण में विस्थापन-वृद्धि या Lagrange मानदंड को अवशेष मानदंड के साथ संयोजित करने से स्थिरता सुधर सकती है।
गतिशील विश्लेषण के समय-समाकलन पैरामीटरों (Newmark-β गुणांकों) के लिए मानों के मानक संयोजन से आरंभ करें और कंपन प्रतिक्रिया की संख्यात्मक-अवमंदन विशेषताएँ बदलते समय उन्हें समायोजित करें।
क्षणिक ऊष्मा चालन की समय-समाकलन योजना में चिकने तापमान परिवर्तनों वाली समस्याओं के लिए Crank-Nicolson और तीव्र परिवर्तन या दीर्घकालीन स्थिरता अधिक महत्वपूर्ण होने पर Backward Euler का उपयोग करें।

स्थैतिक विश्लेषण में Newton-Raphson पुनरावृत्ति¶

अरैखिक स्थैतिक विश्लेषण में ज्यामितीय या सामग्री अरैखिकता वाले संतुलन समीकरण Newton-Raphson विधि से पुनरावृत्त रूप से हल किए जाते हैं। प्रत्येक पुनरावृत्ति निम्न प्रकार आगे बढ़ती है।

वर्तमान समाधान पर अवशेष सदिश \(\boldsymbol{R}\) का मूल्यांकन करें।
स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स \(\boldsymbol{K}_T\) को असेंबल करें।
विस्थापन संशोधन \(\Delta \boldsymbol{u}\) प्राप्त करने के लिए रैखिक तंत्र \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) हल करें।
समाधान को \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) के रूप में अद्यतन करें।
अभिसरण मानदंड से तुलना करें। अभिसरण प्राप्त हो तो पुनरावृत्ति समाप्त करें; अन्यथा चरण 1 पर लौटें।

रैखिक सॉल्वर रैखिक-तंत्र समाधान (चरण 3) करता है। सॉल्वर और पूर्वानुकूलक के चयन के लिए सॉल्वर और पूर्वानुकूलन देखें।

पुनरावृत्ति को !STEP के चरण-नियंत्रण पैरामीटरों से नियंत्रित किया जाता है। मुख्य नियंत्रण मान निम्न हैं।

भूमिका	पैरामीटर
पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा। अभिसरण के बिना सीमा पर पहुँचने पर उपचरण पर cutback लागू होता है।	`MAXITER`
सापेक्ष अवशेष मानक पर आधारित अभिसरण मानदंड।	`CONVERG`
विस्थापन संशोधन के मानक अनुपात पर आधारित अभिसरण मानदंड। स्थिरता सुधारने हेतु अवशेष मानदंड के साथ उपयोग किया जाता है।	`CONVERG_DDISP`
अवशेष मानक के लिए अपसरण मानदंड। यह मान पार होने पर पुनरावृत्ति समाप्त होती है।	`MAXRES`

चरण नियंत्रण में स्वचालित-वृद्धि और cutback निर्णयों द्वारा संदर्भित अधिकतम Newton पुनरावृत्ति संख्या से आशय इस पृष्ठ में वर्णित Newton पुनरावृत्तियों की संख्या है। स्वचालित वृद्धि नियंत्रण कम पुनरावृत्तियों में अभिसरित उपचरण के बाद समय वृद्धि बढ़ाता है और अधिक पुनरावृत्तियाँ आवश्यक होने पर घटाता है।

स्थैतिक विश्लेषण में संपर्क पुनरावृत्ति¶

संपर्क विश्लेषण में संपर्क सतहों पर संपर्क, अलगाव और फिसलन के कारण पुनरावृत्ति के दौरान संपर्क अवस्था बदलती है, इसलिए Newton पुनरावृत्ति को संपर्क-अवस्था अद्यतन के साथ संयोजित किया जाता है। संरचना संपर्क-समाधान एल्गोरिदम पर निर्भर करती है।

दोनों एल्गोरिदम सबसे बाहरी स्तर पर संपर्क-अवस्था खोज लूप रखते हैं। इस लूप के प्रत्येक चक्र में आंतरिक Newton पुनरावृत्ति के अभिसरित होने के बाद संपर्क अवस्था (संपर्क/अलगाव) का पुनर्मूल्यांकन होता है। अवस्था बदलने पर कठोरता मैट्रिक्स की संरचना अद्यतन की जाती है और आंतरिक पुनरावृत्ति फिर चलाई जाती है। जब संपर्क अवस्था पिछले चक्र से अपरिवर्तित हो और संपर्क अभिसरण मानदंड (संपर्क-बल और Lagrange-गुणक मानदंड) संतुष्ट हों, तब लूप समाप्त होता है। चक्रों की संख्या की ऊपरी सीमा !STEP के MAXCONTITER से निर्दिष्ट होती है।

SLAGRANGE संपर्क में मानक Lagrange गुणक विधि द्वारा संपर्क स्वतंत्रता-कोटियों को रैखिक तंत्र में सम्मिलित किया जाता है, जिससे दो-स्तरीय संरचना बनती है जिसमें Newton पुनरावृत्ति सीधे संपर्क-अवस्था खोज लूप के भीतर होती है। संवर्धित Lagrange पुनरावृत्ति शामिल नहीं होती।

ALAGRANGE संपर्क में संपर्क-अवस्था खोज लूप के भीतर संवर्धित Lagrange पुनरावृत्ति जोड़ी जाती है और उसके भीतर Newton पुनरावृत्ति होती है, जिससे तीन-स्तरीय संरचना बनती है। प्रत्येक संवर्धित Lagrange पुनरावृत्ति में पेनल्टी पद और Lagrange गुणक के संयोजन से संपर्क प्रतिबंध का पुनर्मूल्यांकन होता है, जिससे प्रतिबंध सटीकता क्रमशः सुधरती है। संवर्धित Lagrange पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा !CONTACT_ALGO के AUGITER से निर्दिष्ट होती है।

संपर्क पुनरावृत्ति के नियंत्रण मान निम्न हैं।

भूमिका	इसमें निर्दिष्ट
संपर्क-अवस्था खोज-लूप पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा। `SLAGRANGE` और `ALAGRANGE` दोनों में उपयोग।	`!STEP` `MAXCONTITER`
संवर्धित Lagrange पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा। केवल `ALAGRANGE` में उपयोग।	`!CONTACT_ALGO` `AUGITER`
Lagrange गुणक के संशोधन हेतु अभिसरण मानदंड। संपर्क वाले विश्लेषण में अवशेष मानदंड के साथ उपयोग।	`!STEP` `CONVERG_LAG`

चरण नियंत्रण में स्वचालित-वृद्धि निर्णयों द्वारा संदर्भित संपर्क पुनरावृत्ति संख्या से आशय इस पृष्ठ में वर्णित पुनरावृत्तियों की संख्या है, जिसमें संपर्क-अवस्था अद्यतन शामिल हैं। जहाँ संपर्क और अलगाव बार-बार होते हैं, ऐसे विश्लेषण अधिक संपर्क पुनरावृत्तियाँ माँगते हैं और यह स्वचालित-वृद्धि तथा cutback निर्णयों को भी प्रभावित करता है। संपर्क प्रकार, युग्म परिभाषा और एल्गोरिदम चयन के लिए संपर्क और एम्बेडिंग देखें। संपर्क स्वतंत्रता-कोटियों वाले रैखिक तंत्र को हल करने के लिए सॉल्वर और पूर्वानुकूलन देखें।

गतिशील विश्लेषण में समय समाकलन (अंतर्निहित विधि)¶

गतिशील विश्लेषण की अंतर्निहित विधि प्रत्येक समय चरण पर अगले समय के विस्थापन, वेग और त्वरण को जोड़ने के लिए Newmark-β विधि का उपयोग करती है और इन संबंधों को गति समीकरण के साथ संयोजित करके समय \(t + \Delta t\) की अवस्था प्राप्त करती है। समय चरण \(\Delta t\) पर स्थिरता प्रतिबंध हल्का है, जिससे निम्न-आवृत्ति घटकों से प्रमुख संरचनात्मक प्रतिक्रियाएँ दक्षतापूर्वक हल की जा सकती हैं।

निम्न दो समय-समाकलन पैरामीटर उपयोग किए जाते हैं।

पैरामीटर	भूमिका
\(\beta\)	विस्थापन के समय अंतर्वेशन से संबंधित गुणांक।
\(\gamma\)	वेग के समय अंतर्वेशन से संबंधित गुणांक।

संयोजन \(\beta = 1/4\) और \(\gamma = 1/2\) को औसत त्वरण विधि कहा जाता है; यह बिना शर्त स्थिर और संख्यात्मक अवमंदन-रहित मानक विकल्प है। संख्यात्मक अवमंदन जोड़ने के लिए \(\gamma\) को \(1/2\) से अधिक चुनें। पैरामीटर संयोजनों, स्थिरता और त्रुटि विशेषताओं के गणितीय विवरण के लिए सिद्धांत मैनुअल देखें।

अरैखिकता (ज्यामितीय अरैखिकता, सामग्री अरैखिकता या संपर्क) शामिल होने पर प्रत्येक समय चरण के भीतर Newton पुनरावृत्ति की जाती है; पुनरावृत्ति के भीतर रैखिक तंत्र हल करके अवस्था अद्यतन की जाती है। अभिसरण मानदंड स्थैतिक विश्लेषण के साथ साझा CONVERG और संबंधित मानों का उपयोग करते हैं। संपर्क वाले गतिशील विश्लेषण में स्थैतिक विश्लेषण में संपर्क पुनरावृत्ति जैसी ही पुनरावृत्ति संरचना प्रत्येक समय चरण में शामिल होती है।

गतिशील विश्लेषण में समय चरण मुख्यतः !STEP की समय शर्तों से नियंत्रित होता है। स्थिर वृद्धि में !STEP समय चरण के रूप में DTIME और चरण अवधि के रूप में ETIME निर्दिष्ट करता है। !DYNAMIC के n_step और t_delta मान !STEP छोड़े जाने पर और पश्च-संगतता के लिए डिफ़ॉल्ट माने जाते हैं। अरैखिक अंतर्निहित विधि में INC_TYPE=AUTO वाला !STEP स्वचालित वृद्धि और cutback सक्षम करता है और Newton तथा संपर्क पुनरावृत्तियों की अवस्था के अनुसार समय चरण बढ़ाता या घटाता है। स्थिर या स्वचालित किसी भी वृद्धि में समय चरण निर्धारित करते समय अभिसरण और आवश्यक सटीकता दोनों को ध्यान में रखें।

गतिशील विश्लेषण में समय समाकलन (स्पष्ट विधि)¶

गतिशील विश्लेषण की स्पष्ट विधि केंद्रीय अंतर विधि द्वारा पिछले समय के केवल विस्थापन, वेग और त्वरण की जानकारी से अगले समय की अवस्था सीधे गणना करती है। चूँकि कोई युगपत समीकरण हल नहीं किए जाते, प्रति चरण संगणन लागत कम होती है। अरैखिकता शामिल होने पर भी प्रत्येक समय चरण Newton पुनरावृत्ति के बिना एकल-चरण अद्यतन होता है।

समय चरण पर तंत्र की न्यूनतम स्वाभाविक अवधि पर आधारित स्थिरता शर्त (CFL शर्त) से ऊपरी सीमा लगती है। इस सीमा से बड़ा समय चरण संख्यात्मक समाधान को अपसारित करता है, इसलिए अंतर्निहित विधि में संभव बड़े समय चरण उपयोग नहीं किए जा सकते। प्रभाव, तरंग प्रसार और उच्च-गति संपर्क जैसी घटनाओं में, जहाँ छोटे समय चरण स्वभावतः आवश्यक हैं, स्पष्ट विधि लाभकारी है।

संपर्क शामिल होने पर संपर्क प्रतिबंध लागू करने के लिए Forward Increment Lagrange विधि का उपयोग किया जाता है। संपर्क बलों का मूल्यांकन स्पष्ट विधि के एकल-चरण अद्यतन के अनुरूप किया जाता है।

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण की समाधान विधि¶

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण मोडल अध्यारोपण विधि द्वारा आवृत्ति डोमेन में आवर्ती स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया सीधे प्राप्त करता है। यह उत्तेजना आवृत्ति बदलते हुए प्रतिक्रिया का मूल्यांकन करता है और पुनरावृत्तियों के माध्यम से समय इतिहास का अनुसरण करने की आवश्यकता नहीं होती। न अरैखिक पुनरावृत्तियाँ की जाती हैं, न समय समाकलन।

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण से पहले उसी तंत्र पर मोडल विश्लेषण करना और आवश्यक संख्या में स्वाभाविक मोड निकालना आवश्यक है। केवल रैखिक मॉडल समर्थित हैं; ज्यामितीय या सामग्री अरैखिकता सक्षम होने पर विश्लेषण नहीं किया जा सकता। इस विश्लेषण प्रकार की स्थिति के लिए विश्लेषण प्रकार देखें।

क्षणिक ऊष्मा चालन में समय अग्रगमन और अरैखिक पुनरावृत्ति¶

क्षणिक ऊष्मा चालन का अपना समय लूप !HEAT के भीतर पूरा होता है। समय चरण संरचनात्मक-विश्लेषण !STEP और !AUTOINC_PARAM से अलग पथ द्वारा नियंत्रित होता है, और सामग्री गुण तापमान पर निर्भर होने पर प्रत्येक समय चरण के भीतर अरैखिक पुनरावृत्ति की जाती है।

समय-समाकलन योजना !HEAT के \(\beta\) पैरामीटर से चुनी जाती है।

\(\beta\)	योजना	विशेषताएँ
0.5	Crank-Nicolson विधि	द्वितीय-क्रम सटीकता। चिकने तापमान परिवर्तन वाली समस्याओं के लिए उपयुक्त।
1.0	Backward Euler विधि	प्रथम-क्रम सटीकता। बिना शर्त स्थिर और दीर्घ-अवधि विश्लेषण तथा तीव्र तापमान परिवर्तनों के लिए स्थिरता प्रदान करती है।

समय चरण को प्रारंभिक समय चरण, न्यूनतम समय चरण और प्रति चरण अधिकतम तापमान परिवर्तन के संयोजन से अनुकूली रूप से नियंत्रित किया जाता है। किसी समय चरण पर गणना के बाद तापमान परिवर्तन DELTMX से अधिक होने पर समय चरण घटाकर चरण की पुनर्गणना की जाती है। समय चरण न्यूनतम समय चरण DTMIN से नीचे जाने पर विश्लेषण समाप्त कर दिया जाता है।

सामग्री गुण तापमान पर निर्भर होने पर प्रत्येक समय चरण के भीतर अरैखिक पुनरावृत्ति की जाती है। पुनरावृत्ति निम्न प्रकार नियंत्रित होती है।

भूमिका	पैरामीटर
अरैखिक पुनरावृत्तियों की ऊपरी सीमा।	`!HEAT` `ITMAX`
अभिसरण मानदंड।	`!HEAT` `EPS`

स्थिर ऊष्मा चालन में समय चरणन का उपयोग नहीं होता; सामग्री गुण तापमान पर निर्भर होने पर केवल अरैखिक पुनरावृत्ति की जाती है। चूँकि ऊष्मा-चालन विश्लेषण का समय नियंत्रण संरचनात्मक-विश्लेषण !STEP से स्वतंत्र है, समय चरण समायोजित करते समय !HEAT सेटिंग जाँचें।