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रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय)

यह अनुभाग अतिसूक्ष्म विरूपण सिद्धांत पर आधारित प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण का सूत्रीकरण प्रस्तुत करता है। प्रतिबल-विकृति संबंध के लिए रैखिक प्रत्यास्थता मानी गई है। यह अध्याय परिमित तत्व संरचनात्मक विश्लेषण की समग्र संरचना को समझने के लिए एक परिचय के रूप में अभिप्रेत है और इसे स्वयंपूर्ण अध्याय के रूप में व्यवस्थित किया गया है।

आभासी कार्य के सिद्धांत के सामान्य रूपों (वर्तमान-विन्यास रूप, प्रारंभिक-विन्यास रूप और अतिसूक्ष्म विरूपण तक सरलीकरण) के लिए आभासी कार्य का सिद्धांत, रैखिक प्रत्यास्थ संविधायी नियम के विवरण के लिए रैखिक प्रत्यास्थता, टेन्सर और Voigt संकेतन की परंपराओं के लिए टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार, परिमित विरूपण के सामान्य सूत्रीकरण के लिए गति, विरूपण और विकृति, तथा अरैखिक समस्याओं की समाधान विधियों के लिए स्पर्शरेखीय कठोरता मैट्रिक्स देखें।

मूल समीकरण

अतिसूक्ष्म विरूपण और रैखिक प्रत्यास्थता की मान्यताओं के अंतर्गत, ठोस यांत्रिकी की सीमा-मूल्य समस्या में संतुलन समीकरण, यांत्रिक सीमा शर्तें और ज्यामितीय सीमा शर्तें (आवश्यक सीमा शर्तें) सम्मिलित होती हैं (चित्र 2.1.1 देखें):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

यहाँ \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy प्रतिबल है, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) प्रति इकाई आयतन पिंड बल है, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) निर्दिष्ट पृष्ठ कर्षण है, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) निर्दिष्ट विस्थापन है, तथा \(S_t, S_u\) क्रमशः यांत्रिक और ज्यामितीय सीमाएँ हैं।

ठोस यांत्रिकी में सीमा-मूल्य समस्या (अतिसूक्ष्म-विरूपण समस्या)

चित्र 2.1.1 ठोस यांत्रिकी में सीमा-मूल्य समस्या (अतिसूक्ष्म-विरूपण समस्या)

सममित प्रवणता संकारक का उपयोग करने पर विकृति-विस्थापन संबंध है

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

रैखिक प्रत्यास्थ संविधायी समीकरण है

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

जहाँ \(\boldsymbol{C}\) चतुर्थ-कोटि प्रत्यास्थता टेन्सर है।

आभासी कार्य का सिद्धांत

आभासी कार्य के सिद्धांत के सामान्य रूप (वर्तमान-विन्यास रूप, प्रारंभिक-विन्यास रूप और अतिसूक्ष्म विरूपण तक सरलीकरण) आभासी कार्य का सिद्धांत में संक्षेपित हैं। अतिसूक्ष्म विरूपण और रैखिक प्रत्यास्थता की मान्यताओं के अंतर्गत दुर्बल रूप है

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

संविधायी समीकरण \eqref{eq:2.1.5} को प्रतिस्थापित कर और Voigt संकेतन में \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखने पर विविक्तीकरण के लिए सीधे प्रयुक्त रूप प्राप्त होता है:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

यहाँ \(D\), रैखिक प्रत्यास्थता में परिभाषित प्रत्यास्थ मैट्रिक्स है। समीकरण \eqref{eq:2.1.10} और \eqref{eq:2.1.7} नीचे विविक्तीकृत किए जाने वाले आभासी कार्य के सिद्धांत का निर्माण करते हैं।

विविक्तीकरण और वैश्विक समीकरण का संयोजन

समीकरण \( \eqref{eq:2.1.10} \) में दिए आभासी कार्य के सिद्धांत को परिमित तत्वों पर विविक्त करने से मिलता है

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

प्रत्येक तत्व के लिए विस्थापन क्षेत्र का अंतर्वेशन, तत्व को बनाने वाले नोडों के विस्थापनों का उपयोग करके निम्न प्रकार किया जाता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

तब समीकरण \(\eqref{eq:2.1.4}\) का उपयोग करके विकृति इस प्रकार दी जाती है।

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.12}\) और \(\eqref{eq:2.1.13}\) को समीकरण \(\eqref{eq:2.1.11}\) में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.14}\) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

यहाँ, समीकरण \(\eqref{eq:2.1.16}\) और \(\eqref{eq:2.1.17}\) द्वारा परिभाषित मैट्रिक्स और सदिश के घटकों की गणना प्रत्येक परिमित तत्व के लिए की जा सकती है और अध्यारोपण द्वारा उनका संयोजन किया जा सकता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

चूँकि समीकरण \(\eqref{eq:2.1.15}\) किसी भी आभासी विस्थापन \(\delta \boldsymbol{U}\) के लिए लागू है, निम्न समीकरण प्राप्त होता है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

दूसरी ओर, समीकरण \(\eqref{eq:2.1.3}\) की विस्थापन सीमा शर्त निम्न प्रकार व्यक्त होती है।

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

समीकरण \(\eqref{eq:2.1.19}\) की बाधा शर्त के अधीन समीकरण \(\eqref{eq:2.1.18}\) को हल करके नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{U}\) निर्धारित किया जा सकता है।

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