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रैखिक प्रत्यास्थता

यह अध्याय रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री के संविधायी नियम (Hooke नियम) का वर्णन करता है। चयन और इनपुट विनिर्देशन के विवरण के लिए कार्य अनुभाग 03_material देखें।

परिघटना (रैखिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया)

रैखिक प्रत्यास्थ पिंड वह सामग्री है जिसमें भार के अधीन विकृति पर्याप्त रूप से छोटी होने के क्षेत्र में प्रतिबल और विकृति के बीच रैखिक संबंध होता है, और भार हटाने पर समस्त विकृति मूल अवस्था में लौट आती है; अर्थात प्रतिक्रिया प्रतिवर्ती और इतिहास-स्वतंत्र होती है। प्लास्टिकता या क्रीप के विपरीत इसमें अवस्था दर्शाने वाले आंतरिक चर (जैसे प्लास्टिक विकृति या श्यान विकृति) नहीं होते, और प्रतिबल केवल वर्तमान विकृति से अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।

लघु-विरूपण क्षेत्र में Cauchy प्रतिबल \(\boldsymbol{\sigma}\) और सूक्ष्म विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) का उपयोग होता है; परिमित-विरूपण क्षेत्र (जहाँ बड़े घूर्णन शामिल हों लेकिन विकृति स्वयं छोटी हो) में द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग होता है (St.Venant-Kirchhoff सामग्री)।

संविधायी नियम

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री

लघु-विरूपण क्षेत्र में समदैशिक Hooke नियम को Lamé नियतांक \(\lambda, \mu\) का उपयोग करके

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

रूप में व्यक्त किया जाता है। घटक रूप में

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

प्राप्त होता है, और विकृति के साथ द्विगुण संकुचन से \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) मिलता है। Lamé नियतांकों का यंग मापांक \(E\) और पॉइसन अनुपात \(\nu\) से निम्न संबंध है:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt संकेतन में विकृति सदिश \(\hat{\varepsilon}\) और प्रतिबल सदिश \(\hat{\sigma}\) का संबंध \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखा जाता है, और 3-आयामी सामग्री मैट्रिक्स \(D\) है

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(कार्यान्वयन में इस मैट्रिक्स निरूपण का उपयोग किया जाता है)।

लम्बदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री

जिन सामग्रियों के प्रत्यास्थ नियतांक प्रधान-अक्ष दिशा के अनुसार भिन्न हों, उनके लिए 9 स्वतंत्र नियतांकों वाला लम्बदैशिक मॉडल लिया जाता है: प्रधान-अक्ष दिशाओं में यंग मापांक \(E_1, E_2, E_3\), प्रधान अक्षों के बीच पॉइसन अनुपात \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), और कतरनी मापांक \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)। \(D\) मैट्रिक्स के स्पष्ट रूप के लिए सामान्य संदर्भ देखें।

परिमित-विरूपण क्षेत्र: St.Venant-Kirchhoff सामग्री

ऐसी समस्याओं में जिनमें बड़े घूर्णन शामिल हों पर विकृति स्वयं छोटी हो, द्वितीय Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) के बीच रैखिक प्रत्यास्थ नियम के रूप में St.Venant-Kirchhoff सामग्री अपनाई जाती है:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé नियतांक \(\lambda, \mu\) की परिभाषा लघु-विरूपण स्थिति के समान है। लेकिन प्रतिबल-विकृति युग्म की परिभाषा भिन्न होने के कारण यह लघु-विरूपण के Hooke नियम से अलग संविधायी नियम है।

हाइपोप्रत्यास्थ सामग्री

Updated Lagrange विधि में सापेक्ष Kirchhoff प्रतिबल टेन्सर की Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) और विरूपण-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) के बीच रैखिक प्रत्यास्थ नियम

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

अपनाने वाली हाइपोप्रत्यास्थ सामग्री का उपयोग किया जाता है। यहाँ भी Lamé नियतांकों द्वारा \(\boldsymbol{C}\) की परिभाषा ऊपर जैसी ही है, लेकिन प्रतिबल-विकृति युग्म भिन्न होने के कारण यह अलग संविधायी नियम है। समय-समाकलन प्रक्रिया (अग्र Euler समाकलन और केंद्रीय-अंतर सन्निकटन) से \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) के प्रतिबल अद्यतन का विवरण tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex देखें।

2-विमीय विश्लेषण और शेल तत्वों के लिए सरलीकरण

समतल प्रतिबल (\(\sigma_{33} = 0\))

पतली प्लेट या शेल पर भार को दर्शाने वाली समतल-प्रतिबल अवस्था में \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) माना जाता है, और तल से बाहर की विकृति घटक \(\varepsilon_{33}\) को बीजीय रूप से हटाकर प्राप्त \(D\) का उपयोग किया जाता है:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

समतल विकृति (\(\varepsilon_{33} = 0\))

मोटाई दिशा में बाधित लंबे संरचनात्मक खंड को दर्शाने वाली समतल-विकृति अवस्था में \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) माना जाता है:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

अक्षसममित

बेलनाकार निर्देशांक \((r, \theta, z)\) में \(\theta\) दिशा में एकसमान समस्याओं के अक्षसममित विश्लेषण में \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) के 4 घटक रखे जाते हैं, और

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

प्राप्त होता है।

शेल तत्व (समतल प्रतिबल + अनुप्रस्थ कतरनी)

शेल तत्वों में तल-अंदर के प्रतिबल को समतल प्रतिबल माना जाता है, और अनुप्रस्थ कतरनी विकृति घटकों \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) के लिए कतरनी-संशोधन गुणांक \(\kappa\) (सामान्यतः \(\kappa = 5/6\)) के साथ \(\kappa\, G\) का उपयोग होता है। प्रत्येक तत्व की विस्तृत संरचना के लिए उन्नत तत्व सूत्रीकरण देखें। कार्य अनुभाग 03_material में दिया विनिर्देशन “शेल तत्व केवल रैखिक प्रत्यास्थता समर्थित करते हैं” तल-अंदर की अवस्था को समतल प्रतिबल मानने के इसी सरलीकरण पर आधारित है।

तापमान निर्भरता

यंग मापांक \(E\), पॉइसन अनुपात \(\nu\), और रैखिक प्रसार गुणांक \(\alpha\) सामान्यतः तापमान \(T\) के फलन के रूप में निर्दिष्ट किए जाते हैं। FrontISTR में सीमित तापमान बिंदु अनुक्रम \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) के लिए मान दिए जाते हैं, और गणना के दौरान तापमान \(T\) का मूल्यांकन आसन्न बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन से किया जाता है। सीमा से बाहर के तापमान (\(T < T_1\) या \(T > T_n\)) के लिए निकटतम छोर \(T_1\) या \(T_n\) का मान बाह्यवेशन में लिया जाता है (स्थिर बाह्यवेशन)।

ऊष्मीय तथा ऊष्मा-चालन गुणों (घनत्व, विशिष्ट ऊष्मा, ऊष्मा चालकता) की तापमान निर्भरता के लिए ऊष्मीय गुण देखें। अंतर्वेशन नियम इन गुणों के समान हैं।

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